从Apollonius圆到极线三角形

精品文档---下载后可任意编辑我们知道，到一点的距离为定长的点的轨迹是圆，到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线，那么到两定点距离之比为定值的点的轨迹是什么呢？求到两点距离之比为定值的点的轨迹。（为方便，我们设比值为 2.）我们可以用解析法做：设各点坐标如下则，这点的轨迹为圆心为的圆。我们当然也可以用几何法解。如图，设则我们首先在 AB 直线上确定满足此条件的点，显然内部外部各有一点满足条件然后设 P 点为轨迹上一点，则连接,由知分别为中 P 的内外角平分线，显然，即 P 点的轨迹为以为直径的圆。如图所示。一般的，到两定点距离之比为定值 k（）的点的轨迹为圆，我们称为 Apolonius 圆，为古希腊数学家 Apolonius 最先提出并解决。他在许多问题中有重要应用。例 1．如图，过圆 O 外一点 P 作其切线 PA、PB，OP 与圆和 AB 分别交于 I、M，DE 为过 M 的任意弦。求证：I为内心。分析：当然要用内心定义证明 I 为角分线交点。证法 1：由垂直和射影定理及相交弦定理有：EM*MD==OM*MP，故 PDOE 四点共圆，又 OD=OE，则，即直线PD、PE 关于 PO 对称，则截弧相等，即 DI 平分，则 I 为内心，证毕。证法 2：容易发现本题本质即为 Apollonius 圆。因为如下图所示，我们刚才已经证完到 AB 距离之比为定值的点的轨迹为 Apollonius 圆。显然当时，有，则 AP 为圆切线，因此本题中圆为阿氏圆，则 PI、EI 分别为内角平分线，即 I 为内心。通过证法二说明发现问题的本质往往能轻而易举解决问题，而且还能更一步加深对问题的理解和把握。进一步，我们有过 M 的任意弦与 P 构成的三角形有共同的内心 I，反之呢？即若共一条角分线的两个三角形PAB、PDE 共内心 I，则四顶点 ADBE 共圆。由上面定理易得。如下图所示。顺便说一下，显然他们也共旁心。通过上例我们发现本定理的本质是一个比例关系式：精品文档---下载后可任意编辑例 2.如图，圆 O‘内切圆 O 于 D，A 为大圆 O 上任一点，AB、AC 为圆 O 的弦，分别切圆 O’于 E、F，EF 交 AO’于 I，求证 I 为内心。证法一：先证明如下引理：如上图，两圆内切，则，这是因为，做出两圆的公切线，则且，则。下面证明本结论，我们由例 1 的证明知,由此得，则 CFID 共圆，又,,即 CI为角平分线，则 I 为内心。证法二：利用点对圆的幂来计算。延长 AO‘交圆 O 于 ...