换元法在数学中的应用

精品文档---下载后可任意编辑教学重难点：教学目标：高考地位：一.基础训练：1.函数 y＝2x＋的值域是________________。，则=P(x , y )满足x2+ y2=25 ，则x+ y 的最大值为二．知识讲解1.定义：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使复杂问题得到简单化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。2.运用范围：它可以化高次为低次、化无理为有理、化超越式为代数式，在讨论方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。3.换元的方法主要有：.整体换元、均值换元、三角换元、局部换元（1）.整体换元例 1 分解因式：解：设，则原式评注：此题还可以设，或，或。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.（2）.均值换元，如遇到 x＋y＝S 形式时，设 x＝＋t，y＝－t 等等。结合三角形角的关系与三角公式进行运算。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t>0和 α∈[0,]。例题：解方程组解：由①可设，，即，，代入②，得∴.∴∴原方程组的解为说明：本题若按常规设法，可设，，此时，﹒由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设，，此时，，没有出现分类，使运算变得简捷.换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。 注明：此方法略难，重点生可以讨论普通生有兴趣的讨论（3）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y＝＋的值域时，易发现 x∈[0,1]，设 x＝sinα ，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换 x＝rcosθ、y＝rsinθ 化为三角问题。例题：求函数 y＝3－4 的值域．解：由解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为()2＋()2＝4，故可设(θ∈[0，])则 y＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin (θ－φ)(．因为 θ∈，所以 θ－φ∈.所以当 θ＝0 时，函数取得最小值 10sin(－φ)＝10×＝－8；当 ...