柯西不等式的应用及推广

精品文档---下载后可任意编辑【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。【关键词】柯西（Cauchy）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学【Abstract】Cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value & minimum value of function.Then Cauchy-inequality's some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed.【Key words】Cauchy-inequality,the maximum & minimum value,inequation-teaching,func of triangle's proving引言中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子。在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重。而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用。基于此，本文拟以柯西不等式为例，从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳，并谈谈它在中学数学中的一些应用.。1 柯西不等式的证明[1][2]对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指当且仅当时，等号成立。1.1 构造二次函数证明当或时，不等式显然成立令 ，当中至少有一个不为零时，可知 A>0构造二次函数，展开得： 故的判别式移项得，得证。1.2 向量法证明令.则对向量有，由，，得当且仅当，即平行时等号成立。1.3 数学归纳法证明i ) 当 n=1 时，有，不等式成立。当 n=2 时，因为，故有当且仅当，即时等号成立。ii）假设 n=k 时不等式成立，即当且仅当时等号成立。那么当 n=k+1 时，当且仅当时等号成立，即时等号成立。于是 n=k+1 时不等式成立。由 i ) ii）可得对于任意的自然数 n，柯西不等式成立。1.4 利用恒等式证明 先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数有柯西—拉格朗日恒等式精品文档---下载后可任意编辑由实数性质可得柯西不等式成立。 以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重...