小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S4S3S2S1ODCBA ①1243::S SSS或者1324SSSS ② 1243::AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1 】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是6．92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ ODCBA 【分析】 根据蝴蝶定理求得 3 121.5AODS △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC  ？ ABCDG321 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理， 123BGCS  ，那么6BGCS； ⑵根据蝴蝶定理， :12 : 361:3AG GC ． () 【例 2 】 四边形ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O (如图所示 )。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 任意四边形、梯形与相似模型 面积的13，且2AO ，3DO ，那么CO 的长度是DO 的长度的_________ 倍。 ABCDO HGABCDO 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作 AH 垂直 BD 于H ，CG 垂直 BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一： ::1:3ABDBDCAO OCSS， ∴2 36OC  ， ∴:6:32:1OC OD ． 解法二：作 AHBD于H ，CGBD于G ．...