全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短 经典例题透析 类型一：由角平分线想到构造全等 不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点（此点作为顶点）组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把角、线段转移达到解题目的． 1．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交 AB、BC于点F、E．若 AD=2，BC=8．求 BE的长． 图 1 图 2 解析： 由题意得 △BFE≌△DFE，∴ BE=DE， 在△BDE中，ED=BE，∠DBE=45°， ∴ ∠BDE=∠DBE=45°， ∴ ∠DEB=90°，即 DE⊥BC，在等腰梯形中，AD=2，BC=8， 过 A作AG⊥BC，交 BC于 G，如图2，四边形AGED是矩形∴ GE=AD=2， 在Rt△ABG和 Rt△DCE中，AB=DC，AG=DE， ∴ Rt△ABG≌Rt△DCE，∴ BG=CE，∴ ，∴ BE=5． 2．如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A 求证： 图 3 图 4 解析：如图4，作∠B的平分线交 AC于 D， 则∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A=∠C ∴ AD=BD=BC 作BM⊥AC于 M，则 CM=DM． 3．如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC，求证：AC＞BD 图 5 图 6 解析：如图6，作 DE∥AC，DF∥BC，交 BA或延长线于点 E、F， 四边形ACDE和四边形BCDF都是平行四边形． ∴ DE=AC，DF=BC，AE=CD=BF 作 DH⊥AB于 H，根据勾股定理 ，， AD＞BC，AD＞DF ∴ AH＞FH，EH＞BH ， ∴ DE＞BD， 即 AC＞BD. 4．如图7，已知△ABC中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC． 图 7 解析：设 AB、AC、BD、，CD分别为 b、c、m、n， 则 c+n=b+m，c-b=m-n， AD⊥BC，根据勾股定理，得 ， ∴ ， ， c+b＞m+n， ∴ c-b=0即c=b， ∴ AB=AC． 类型二：勾股定理的逆定理的运用 5．如图8，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到 ，则点P与点之间的距离为________，∠APB=________． 图 8 图 9 解析：如图9，连结， 是由 旋转得到的，所以 ≌ 所以. . 所以三角形是等边三角形，． 则在三角形中． 所以 是直角，． 6．如图10，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：． 图 10 图 11 解析：如图11，显然△ADC是等边三角形，以BC为边向右侧作等边三角形，则BC=BE， 连接 AE，则可证明△BCD≌△ACE，所以AE=DB，∠ABC+∠CBE=90°， ...
