全等三角形之截长补短法VIP专享

例题1 如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=AC，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，求证：AB=AC+CD． 考点：全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分 析 ： 利 用 已 知 条 件 ，求 得 ∠B=∠E ，∠2=∠1 ，AD=AD ，得 出 △ABD≌△AED （ AAS ），∴AE=AB． AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD． 解答：证法一：如答图所示，延长 AC，到 E 使 CE=CD，连接 DE． ∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD， ∴∠B=∠CAB=45°，∠E=∠CDE=45°， ∴∠B=∠E． AD 平分∠BAC， ∴∠1=∠2 在△ABD 和△AED 中， ∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD， ∴△ABD≌△AED（AAS）． ∴AE=AB． AE=AC+CE=AC+CD， ∴AB=AC+CD． 证法二：如答图所示，在AB 上 截取 AE=AC，连接 DE， AD 平分∠BAC， ∴∠1=∠2． 在△ACD 和△AED 中， AC=AE，∠1=∠2，AD=AD， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED=∠C=90，CD=ED， 又 AC=BC， ∴∠B=45°． ∴∠EDB=∠B=45°． ∴DE=BE， ∴CD=BE． AB=AE+BE， ∴AB=AC+CD． 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过 SAS 的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系． 例题 2 图，AD 是△ABC 中 BC 边上的中线，求证： AD＜ （AB+AC）． 考点：全等三角形的判定与性质 ；三角形三边关系． 专题：计算题． 分析：可延长 AD 到 E，使 AD=DE，连 BE，则△ACD≌△EBD 得 BE=AC，进而在△ABE 中利用三角形三边关系，证之． 解答：证明：如图延长 AD 至 E，使 AD=DE，连接 BE． BD=DC，AD=DE，∠ADC=∠EDB ∴△ACD≌△EBD∴AC=BE 在△ABE 中，AE＜AB+BE，即 2AD＜AB+AC∴AD＜ （AB+AC） 点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握． 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 AD⊥MN 于 D，BE⊥MN 于 E． （1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： DE=AD+BE； （2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 考点：旋转的性质 ；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 ． 专题：证明题． 分析：（1）由已知 AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，利用互余关系可证∠DAC=∠ECB，可证△ACD≌△CBE，得 AD=CE，CD=BE，故 AD+BE=CE+CD=DE； （2）此时，...