八年级下期末复习5 如图1,四边形ABCD 为正方形,E 在CD 上,∠DAE 的平分线交CD 于F,BG⊥AF 于G,交AE于H. (1)如图1,∠DEA=60°,求证:AH=DF; (2)如图2,E 是线段 CD 上(不与 C、D 重合)任一点,请问:AH 与 DF 有何数量关系并证明你的结论; (3)如图3,E 是线段 DC 延长线上一点,若 F 是△ADE 中与∠DAE 相邻的外角平分线与 CD 的交点,其它条件不变,请判断 AH 与 DF 的数量关系(画图,直接写出结论,不需证明). 证明:(1)延长 BG 交AD 于点 S AF 是 HAS的角的平分线,BS⊥AF ∴∠HAG=∠SAG,∠HGA=SGA=90° 又 AG=AG ∴△AGH≌△AGS ∴AH=AS, AB∥CD ∴∠AFD=∠BAG, ∠BAG+∠ABS=∠ABS+∠ASB=90° ∴∠BAG=∠ASB ∴∠ASB=∠AFD 又 ∠BAS=∠D=90°,AB=AD ∴△ABS≌△DAF ∴DF=AS ∴DF=AH. (2)DF=AH. 同理可证DF=AH. (3)DF=AH 如图,在△ABC 中,点O是AC 边上的一个动点(点O不与A、C 两点重合),过点O作直线MN∥BC,直线MN与∠BCA 的平分线相交于点E,与∠DCA(△ABC 的外角)的平分线相交于点F. (1)OE 与OF 相等吗?为什么? (2)探究:当点O运动到何处时,四边形 AECF 是矩形?并证明你的结论. (3)在(2)中,当∠ACB 等于多少时,四边形 AECF 为正方形.(不要求说理由) 解:(1)如图所示:作EG⊥BC,EJ⊥AC,FK⊥AC,FH⊥BF, 因为直线EC,CF 分别平分∠ACB 与∠ACD,所以EG=EJ,FK=FH, 在△EJO与△FKO中, ∠AOE=∠CON ∠EJO=∠FKO EJ=FK , 所以△EJO≌△FKO,即OE=OF (2)当OA=OC,OE=OF 时,四边形AECF 是矩形, 证明: OA=OC,OE=OF, ∴四边形AECF 为平行四边形, 又 直线MN与∠BCA 的平分线相交于点E,与∠DCA(△ABC 的外角)的平分线相交于点F. ∴∠ACE=∠BCE,∠ACF=∠FCD, 由∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCD=180°, ∴∠ECA+∠ACF=90°,即∠ECF=90°, ∴四边形AECF 为矩形; (3)由(2)可知,四边形AECF 是矩形,要使其为正方形,再加上对角线垂直即可,即∠ACB=90° (1)如图所示,BD,CE 分别是△ABC 的外角平分线,过点A 作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连接 FG,延长 AF,AG,与直线BC 分别交于点M、N,那么线段 FG 与△ABC 的周长之间存在的数量关系是什么? 即:FG=(AB+BC+AC) (直接写出结果即可) (2)如图,若 BD,CE 分别是△ABC 的...