微分中值定理的证明题

微分中值定理的证明题 1. 若( )f x 在[ , ]a b 上连续，在( , )a b 上可导，( )( )0f af b，证明：R ，( , )a b 使得：( )( )0ff。 证：构造函数( )( )xF xf x e，则( )F x 在[ , ]a b 上连续，在( , )a b 内可导， 且( )( )0F aF b，由罗尔中值定理知： , )a b （，使( )0F  即：[( )( )]0ffe，而0e ，故( )( )0ff。 2. 设 ,0a b ，证明：( , )a b ，使得(1)()baaebeeab。 证：将上等式变形得：1111111111(1)()baeeebaba 作辅助函数1( )xf xx e，则( )f x 在1 1[ ,]b a 上连续，在1 1( ,)b a 内可导， 由拉格朗日定理得： 11( )( )1( )11ffbafba 11 1( ,)b a ， 即 11111(1)11baeebaeba 11 1( ,)b a ， 即：ae(1)( , )bebeea b ( , )a b 。 3. 设( )f x 在(0,1) 内有二阶导数，且(1)0f，有2( )( )F xx f x证明：在(0,1) 内至少存在一点  ，使得：( )0F 。 证：显然( )F x 在[0,1] 上连续，在(0,1) 内可导，又(0)(1)0FF，故由罗尔定理知：0(0,1)x，使得0()0F x 又2( )2( )( )F xx f xx fx，故(0)0F， 于是( )F x在0[0]x，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x ， 使得：( )0F ，而0(0,)x  (0,1) ，即证 4. 设函数)(xf在[0,1]上连续，在(0,1)上可导， 0)0(f，1)1(f.证明： (1)在(0,1)内存在 ，使得 1)(f． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点 ，1)()(//ff使得 【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论. 【证明】 （I） 令xxfxF1)()(，则F(x )在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在 ),1,0( 使得 0)(F，即 1)(f. （II） 在],0[  和]1,[上对f(x )分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(，使得0)0()()(fff，1)()1()(fff 于是 .1111)(1)()()(ffff 5. ...