第 58 讲 二项式定理本二项式定理 设 n∈N ，则(a＋b)n＝C an＋C an-1b＋…＋C an-rbr＋…＋C bn ①① 式右边称为二项式(a＋b)n的展开式，第 r＋1 项 Tr+1＝C an-rbr称为二项式展开式的通项公式，C 叫做第 r＋1 项的二项式系数。尤其地，(1＋x)n＝C ＋C x＋…＋C xr＋…＋C xn。为以便起见，我们引入记号“∑”，a1＋a2＋…＋an可记为，于是①式可以写成(a＋b)n＝。二项式系数之间有如下性质：①＝2n； ② C ＝C，0≤r≤n； ③ C＋C ＝C④ 当 n 为偶数时，C C>…>C ； 当 n 为奇数时，C C>…> C 。对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，并且要学会逆向运用和变式使用，有时先作合适变形后再展开；有时需合适配凑后逆用二项式定理。二项式定理及其展开式系数的性质是处理许多数学问题的重要工具，如：整除或求余数（余式）问题，组合数的求和式组合恒等式的证明问题，近似计算问题等等。对于运用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；对于处理整除性问题，往往构造对偶式或运用与递推式的结合。A 类例题 例 1 若(3x＋1)n（n∈N+）的展开式中各项系数和是 256，则展开式中 x2的系数是_________。（上海高考题）分析 分清系数和二项式系数两个概念，系数之和常令 x＝1，二项式系数之和为 C ＋C＋…＋C ＝2n．解 设(3x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2xn，令 x＝1，得 4n＝a0＋a1＋…＋an，即各项系数之和为 4n，由题得 4n＝256，得 n＝4。故(3x＋1)4的展开式中含 x2改为 C (3x)2＝54x2。故所求展开式中 x2系数为 54．阐明：求二项式所有系数和的措施，常令其字母为 1。若求所有奇数项系数和，可先令字母为 1，求出所有系数和 a0＋a1＋a2＋…＋an，再令字母为－1，求出 a0－a1＋a2－a3＋…＋an，再令字母为－1，求出 a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，原式相加除以 2。即得 an有奇数项系数和 a0＋a2＋a4＋…。同理，两式相减除以 2，可求出展开式所有偶数项系数和 a1＋a3＋a5＋…。注意，二项式系数与展开式某一项系数是不一样概念，第 r＋1 项的二项式系数是 C 。例 2 在(x2＋3x＋2)5的展开式中 x 的系数为（ ）A．160 B．240 C．360 D．8004分析 二项式定理实质上是(a＋b)2，(a＋b)3，展开公式的推广，是两个字母 a 和 b 的和或差的 n 次方的展开公式，因此只能处理两个字母或两个量之间的关系，遇到不小于二个量...
