截长补短法巧解

截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 例： HPGFBACDE 在正 方形 ABCD 中，DE=DF ，DGCE，交 CA 于 G，GH AF，交AD 于 P，交 CE 延长线于 H，请问三条粗线DG，GH，CH 的数量关系 方法一（好想不好证） HPGFBACDE 方法二（好证不好想） HMPGFBACDE 例题不详解。 （第2 页题目答案见第3、4 页） FEDCAB （1）正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，点 F 在 BC 上，EAF=45 o 。 求证：EF=DE+BF （1）变形 a EFDCAB 正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 延长线上，点 F 在 BC 延长线上， EAF=45 o 。 请问现在 EF、DE、BF 又有什么数量关系？ （1）变形 b EFDCAB 正方形 ABCD 中，点 E 在 DC 延长线上，点 F 在 CB 延长线上， EAF=45 o 。 请问现在 EF、DE、BF 又有什么数量关系？ （1）变形 c jFEABCD 正三角形 ABC 中，E 在 AB 上，F 在 AC上EDF=45 o 。DB=DC ，BDC=120 o 。请问现在 EF、BE、CF 又有什么数量关系？ （1）变形 d FEDCAB 正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，点 F在 BC 上， EAD=15 o ， FAB=30 o 。AD= 3 求AEF 的面积 （1）解：（简单思路） GFEDCAB 延长CD 到点G，使得DG=BF，连接AG。 由四边形 ABCD 是正方形得 ADG=ABF=90 o AD=AB 又 DG=BF 所以ADG  ABF（SAS） GAD=FAB AG=AF 由四边形 ABCD 是正方形得 DAB=90 o =DAF+FAB =DAF+GAD=GAF 所以GAE=GAF-EAF =90 o -45 o =45 o GAE=FAE=45 o 又 AG=AF AE=AE 所以EAG  EAF（SAS） EF=GE=GD+DE=BF+DE 变形 a 解：（简单思路） GEFDCAB EF= BF-DE 在 BC 上截取 BG，使得BG=DF，连接AG。 由四边形 ABCD 是正方形得 ADE=ABG=90 o AD=AB 又 DE=BG 所以ADE  ABG（SAS） EAD=GAB AE=AG 由四边形 ABCD 是正方形得 DAB=90 o =DAG+GAB =DAG+EAD=GAE 所以GAF=GAE-EAF =90 o -45 o =45 o GAF=EAF=45 o 又 AG=AE AF=AF...