复数的三角形式

精品文档---下载后可任意编辑复数的三角形式1、复数的三角形式 (1)复数的幅角：设复数 Z=a＋bi 对应向量，以 x 轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为 O)为终边的角 θ，叫做复数 Z 的辐角，记作 ArgZ，其中适合 0≤θ<2π 的辐角 θ 的值，叫做辐角的主值，记作 argZ． 说明：不等于零的复数 Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差 2π 的整数倍． (2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数 Z=a＋bi的三角形式，其中． 说 明 ： 任 何 一 个 复 数 Z=a ＋ bi 均 可 表 示 成 r(cosθ ＋isinθ)的形式．其中 r 为 Z 的模，θ 为 Z 的一个辐角． 2、复数的三角形式的运算： 设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则 3、应用例 1 求下列复数的模和辐角主值（1） （2）解：（1） 精品文档---下载后可任意编辑又=1 ， 点 （ 1,1 ） 在 第 一 象 限 。 所 以（2）有， 点 （） 在 第 四 象 限 ， 所 以想一想：怎样求复数的辐角想一想：复数的三角形式有哪些特征下列各式是复数的三角形式吗（1） （2）（3）例 2 把下列复数转化为三角形式（1）-1；（2）； （3） 解：（1）=1，辐角主值为 =，所以-1=（2） 辐角主值为 =，所以=（3），由和点在第四象限，得，所以=精品文档---下载后可任意编辑总结：复数的代数形式化为复数的三角形式一般方法步骤是：① 求复数的模：；②由及点所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。例 3．求复数 Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值. 分析:式子中多个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2 -1)+2i·sin cos=2cos(cos +isin )........(1) π<θ<2π ∴ < <π, ∴cos <0 ∴(1)式右端=-2cos (-cos -isin )=-2cos [cos(π+)]+isin(π+ )]∴ r=-2cos , ArgZ=π+ +2kπ(k∈Z) 精品文档---下载后可任意编辑 < <π ∴ π<π+ <2π， ∴argZ=π+ . 例 4．将 Z=(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值. 分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化. 解:====cos2θ+isin2θ π<θ<3π, ∴<2θ<6π, ∴ π<2θ-4π<2π，∴ argZ=2θ-4π...