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抛物线与平行四边形(教师用)

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1 ABCOx y 抛物线与平行四边形 (简单)1.(2011 年连云港)如图,抛物线y=12 x2-x+a 与x 轴交于点A,B,与y 轴交于点C,其顶点在直线y=-2x 上. (1)求a 的值; (2)求A,B 的坐标; (3)以AC,CB 为一组邻边作□ABCD,则点D 关于x 轴的对称点D′ 是 否在该抛物线上?请说明理由. 解:(1)抛物线的顶点坐标为(1,a-12 ) 顶点在直线y=-2x 上,∴a-12 =-2.即a=- 32 (2)由(1)知,抛物线表达式为y=12 x2-x- 32 , 令y=0,得12 x2-x- 32 =0.解之得:x1=-1,x3=3. ∴A 的坐标 (-1,0),B 的坐标 (3,0); (3) 四边形ABCD 是平行四边形, ∴点C,D 关于对角线交点(1,0)对称 又 点D′ 是点D 关于x 轴的对称点, 点C,D′ 关于抛物线的对称轴对称. ∴D′ 在抛物线上. 【考点】在曲线上点的坐标满足方程,一元二次方程,中心对称,轴对称。 【分析】(1)利用在曲线上点的坐标满足方程,直接求解。 (2)A,B 两点都在X 轴上,所以只要令y=0 可求。 (3)利用中心对称,轴对称可证。也可这样证:由□ACBD 可得对角线中点坐标 (-1,0) 。 点C,D 关于对角线交点(1,0)对称 ,可得 D 点坐标 (2, 32 ) 。由D,D′ 关于x 轴对称,可得 D′ 点坐标 (2, -32 ) 。把x=2 代入函数关系式得y=12 ×22-2- 32 =-32 。因此 D′ 在抛物线上。 (简单)2 、(2011•临沂)如图,已知抛物线经过 A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C. (1)求抛物线的解析式; (2)若点D 在抛物线上,点E 在抛物线的对称轴上,且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形,求点D 的坐标; (3)P 是抛物线上的第一象限内的动点,过点P 作PM⊥x 轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 2 考点:二次函数综合题。 专题:综合题。 分析:(1)由于抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)根据平行四边形的性质,对边平行且相等以及对角线互相平方,可以求出点D 的坐标; (3)根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P 的坐标. 解答:解(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),且过A(﹣2,0),B(﹣3,3),O(0,0)可得 ,解得.故抛物线的解析式为y=x2+2x; (2)①当AE 为边时...

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