抛物线与平行四边形(教师用)

1 ABCOx y 抛物线与平行四边形 (简单)1．（2011 年连云港）如图，抛物线y＝12 x2－x＋a 与x 轴交于点A，B，与y 轴交于点C，其顶点在直线y＝－2x 上． （1）求a 的值； （2）求A，B 的坐标； （3）以AC，CB 为一组邻边作□ABCD，则点D 关于x 轴的对称点D′ 是 否在该抛物线上？请说明理由． 解：（1）抛物线的顶点坐标为(1,a－12 ) 顶点在直线y＝－2x 上，∴a－12 ＝－2．即a＝－ 32 （2）由（1）知，抛物线表达式为y＝12 x2－x－ 32 ， 令y＝0，得12 x2－x－ 32 ＝0．解之得：x1＝－1，x3＝3． ∴A 的坐标 (－1,0)，B 的坐标 (3,0)； （3） 四边形ABCD 是平行四边形， ∴点C，D 关于对角线交点(1,0)对称 又 点D′ 是点D 关于x 轴的对称点， 点C，D′ 关于抛物线的对称轴对称． ∴D′ 在抛物线上． 【考点】在曲线上点的坐标满足方程，一元二次方程，中心对称，轴对称。 【分析】（1）利用在曲线上点的坐标满足方程，直接求解。 （2）A，B 两点都在X 轴上，所以只要令y＝0 可求。 （3）利用中心对称，轴对称可证。也可这样证：由□ACBD 可得对角线中点坐标 (-1,0) 。 点C，D 关于对角线交点(1,0)对称 ，可得 D 点坐标 (2, 32 ) 。由D，D′ 关于x 轴对称，可得 D′ 点坐标 (2, -32 ) 。把x＝2 代入函数关系式得y＝12 ×22－2－ 32 ＝－32 。因此 D′ 在抛物线上。 (简单)2 、（2011•临沂）如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等以及对角线互相平方，可以求出点D 的坐标； （3）根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P 的坐标． 解答：解（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得 ，解得．故抛物线的解析式为y=x2+2x； （2）①当AE 为边时...