抽象函数的周期性与对称性

抽象函数的周期性与对称性 一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴 二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。 三、具体内容 1. 若)()(Txfxf则)(xf的周期为T 。 2. 若)()(bxfaxf则)(xf的周期为 abT。 证：令 axx ∴ )()(abxfxf 3. 若)()(bxfaxf则)(xf的周期abT 2。 证：令 axx ∴ )()(abxfxf ① 令 bxx ∴ )()(xfbaxf ② 由①②得： )()(abxfbaxf ∴)()(abxfbaxf ∴ abT 2 4. 若)()(xbfxaf则)(xf图象的对称轴为2bax。 证：要证原结论成立只需证)2()2(xbafxbaf 令xabx2代入)()(xbfxaf 则)2()2(xbafxbaf 5. 若)()(xbfxaf则)(xf的图象，以 0,2ba为对称中心。 证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(xbafxbaf 令xabx2代入)()(xbfxaf 则)2()2(xbafxbaf 方法二：设 )(xfy 它的图象为C CyxP),(00 则P 关于点 0,2ba的对称点),(00'yxbaP‘ )()()()(0000xfxbbfxbafxbaf 00)(yxf ∴ 00)(yxbaf ∴ C' P 【几个重要的结论】 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数 )(xfy 满足)()(xTfxTf（T 为常数）的充要条件 是)(xfy 的图象关于直线Tx 对称。 2、函数 )(xfy 满足)2()(xTfxf（T 为常数）的充要条件 是)(xfy 的图象关于直线Tx 对称。 3、函数 )(xfy 满足)()(xbfxaf的充要条件 是)(xfy 图象关于直线22)()(baxbxax对称。 4、如果函数)(xfy 满足)()(11xTfxTf且)()(22xTfxTf，（1T 和2T是不相等的常数），则)(xfy 是以为)(212TT 为周期的周期函数。 5、如果奇函数 )(xfy 满足)()(xTfxTf（0T）， 则函数 )(xfy 是以 4T 为周期的周期性函数。 6、如果偶函数 )(xfy 满足)()(xTfxTf（0T）， 则函数 )(xfy 是以 2T 为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线)(xfy 与)(xfy关于 X 轴对称。 2、曲线)(xfy 与)( xfy...