黎 曼 流 形 维 基 百 科 ， 自 由 的 百 科 全 书 黎 曼 流 形 （ Riemannian manifold） 是 一 个 微 分 流 形 ， 其 中 每 点 p 的 切 空 间 都 定义 了 点 积 ， 而 且 其 数 值 随 p 平 滑 地 改 变 。 它 容 许 我 们 定 义 弧 线 长 度 ， 角 度 ， 面积 ， 体 积 ， 曲 率 ， 函 数 梯 度 及 向 量 域 的 散 度 。 每 个 Rn的 平 滑 子 流 形 可 以 导 出 黎 曼 度 量 : 把 Rn的 点 积 都 限 制 于 切 空 间 内 。 实 际上 ， 根 据 纳 什 嵌 入 定 理 , 所 有 黎 曼 流 形 都 可 以 这 样 产 生 。 我 们 可 以 定 义 黎 曼 流 形 为 和 Rn的 平 滑 子 流 形 是 等 距 同 构 的 度 量 空 间 ,等 距 是 指 其内 蕴 度 量 (intrinsic metric)和 上 述 从 Rn导 出 的 度 量 是 相 同 的 。 这 对 建 立 黎 曼几 何 是 很 有 用 的 。 黎 曼 流 形 可 以 定 义 为 平 滑 流 形 ， 其 中 给 出 了 一 个 切 丛 的 正 定 二 次 形 的 光 滑 截 面 。它 可 产 生 度 量 空 间 ： 如 果 γ : [a, b] → M 是 黎 曼 流 形 M 中 一 段 连 续 可 微 分 的 弧 线 ， 我 们 可 以 定义 它 的 长 度 L(γ ) 为 （ 注 意 ： γ '(t) 是 切 空 间 M 在 γ (t)点 的 元 素; ||·||是 切 空 间 的 内 积 所 得出的 范数 。 ) 使用 这 个 长 度 的 定 义 ,每 个 连 通的 黎 曼 流 形 M 很 自 然的 成为 一 个 度 量 空 间 （ 甚至是 长 度 度 量 空 间 ） ： 在 x 与y 两点 之间 的 距 离 d(x, y) 定 义 为 ： d(x,y) = inf{ L(γ ) : γ 是 连 接x 和 y 的 一 条光 滑 曲 线 }。 虽然黎 曼 流 形 通常是 弯曲 的 ， “直线 ”的 概念依然存在 :那就是 测地 线 . 在 黎 曼 流 形 中 ,测地 线 完备的 概念， 和 拓扑 完备及 度 量 完备是 等 价 的 ： 每 个 完备性 都 可 以 推 出 其 他 的 完备性 ， 这 就是 Hopf-Rinow 定 理 的 内 容 .。 微 分 流 形 维 基 百 科...
