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换元积分法与分部积分法

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《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 1 §8.2 换元积分法与分部积分法 教学目标:掌握第一、二换元积分法与分部积分法. 教学内容:第一、二换元积分法;分部积分法. 基本要求:熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法. 教学建议: (1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题. (2) 总结分部积分法的几种形式:升幂法,降幂法和循环法. 教学过程: 一、第一类换元法 ——凑微分法: 有一些不定积分,将积分变量进行适当的变换后,就可利用基本积分表求出积分。例如,求不定积分cos2xdx,如果凑上一个常数因子 2,使成为 11cos2cos2cos2222xdxxxdxxdx• 令2xu则上述右端积分 111cos22cossin222xdxuduuC 然后再代回原来的积分变量x,就求得原不定积分 1cos2sin 22xdxxC 更一般的,若函数 F x 是函数 f x 的一个原函数, x是可微函数, 并且复合运算 Fx 有意义,根据复合函数求导法则      FxFxxfxx 及不定积分的定义,有    fxx dxFxC 由于   f u duF uC 从《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 2 而     uxfxx dxf u du (1) 综上所述,可得如下结论 定理8.4:(第一换元积分法) 设 f u 是连续函数, F u 是 f u 的一个原函数。又若 ux连续可微,并且复合运算 fx 有意义,则      uxfxx dxf u duFxC (2) 第一换元积分公式(2)说明如果一个不定积分 g x dx的被积表达式 g x dx 能够写成  fxx dx的形式,可通过变量代换 ux把被积表达式等同于 f u du ,若不定积分   f u duF uC 容易求得,那么再将 ux代入 F u ,便求出原不定积分   g x dxFxC 由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式 g x dx变为     fxx dxfxdx的形式。...

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