换元积分法与分部积分法

《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 1 §8.2 换元积分法与分部积分法 教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法． 基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学建议： (1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法． 教学过程： 一、第一类换元法 ——凑微分法： 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos2xdx，如果凑上一个常数因子 2，使成为 11cos2cos2cos2222xdxxxdxxdx• 令2xu则上述右端积分 111cos22cossin222xdxuduuC 然后再代回原来的积分变量x，就求得原不定积分 1cos2sin 22xdxxC 更一般的，若函数 F x 是函数 f x 的一个原函数， x是可微函数， 并且复合运算 Fx 有意义，根据复合函数求导法则      FxFxxfxx 及不定积分的定义，有    fxx dxFxC 由于   f u duF uC 从《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 2 而     uxfxx dxf u du （1） 综上所述，可得如下结论 定理8.4：（第一换元积分法） 设 f u 是连续函数， F u 是 f u 的一个原函数。又若 ux连续可微，并且复合运算 fx 有意义，则      uxfxx dxf u duFxC （2） 第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分 g x dx的被积表达式 g x dx 能够写成  fxx dx的形式，可通过变量代换 ux把被积表达式等同于 f u du ，若不定积分   f u duF uC 容易求得，那么再将 ux代入 F u ，便求出原不定积分   g x dxFxC 由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式 g x dx变为     fxx dxfxdx的形式。...