椭圆中互相垂直的弦过定点问题

1 （1 ）过椭圆22221xyab 的右焦点( ,0 )F c作两条互相垂直的弦AB ，CD 。若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线 MN 恒过定点222(,0 )a cab。 （2 ）过椭圆22221xyab 的长轴上任意一点( ,0 )()S sasa 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0 )a sab。 设 AB 的直线为 xmys，则 CD 的直线方程为1xysm ， 2222220xmysb xa ya b，22222222()2()0m bayb msybsa， 2222224()0a bm bas ，2112222 msbyym ba，22211222()asayym ba， 由中点公式得 M22222222(,)a smsbm bam ba， 将 m 用 1m代换，得到 N 的坐标222222222(,)a smmsbm abm ab MN 的直线方程为222222222222()()(1 )b smabma syxb maamb ma，令0y ，得222a sxab 所以直线 MN 恒过定点222(,0 )a sab。 （3 ）过椭圆22221xyab的短轴上任意一点(0 , )()Ttttt  作两条互相垂直的弦AB ，CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0 ,)b tab。 2 （4 ）过椭圆22221xyab 内的任意一点2222( , )(1 )stQ s tab作两条互相垂直的弦AB ，CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222222(,)a sb tabab。 设 AB 的直线为()xsm yt，则CD 的直线方程为1 ()xsytm ， 222222()0xsm ytb xa ya b，2222222222()2()()0m baybmsm t ybsmta b， 2112222()mbsmtyym ba，由中点公式得22222222()()(,)asmtmbmtsM m bam ba 直线 MN 的方程为：22222222()()()MNb m mtsasmtykxb mab ma， 即222222()MNa sb tykxabab，所以直线 MN 恒过定点222222(,)a sb tabab。 3 重庆高2018 级理科二诊20（本题满分12 分） 已知1( 1,0)F ，2(1,0)F是椭圆22143xy的左右焦点。（2）过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l（均不与 x 轴重合）分别与椭圆交于 ABCD 四点。线段 AB ，CD 的中点分别是M ，N ，求证：直线 MN 过定点，并求出该定点坐标。 设直线:(1)AB yk x，联立椭圆方程223412xy得： 2222(43)8...