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椭圆中互相垂直的弦过定点问题

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1 (1 )过椭圆22221xyab 的右焦点( ,0 )F c作两条互相垂直的弦AB ,CD 。若弦AB ,CD的中点分别为M ,N ,那么直线 MN 恒过定点222(,0 )a cab。 (2 )过椭圆22221xyab 的长轴上任意一点( ,0 )()S sasa 作两条互相垂直的弦AB ,CD 。若弦AB ,CD 的中点分别为M ,N ,那么直线MN 恒过定点222(,0 )a sab。 设 AB 的直线为 xmys,则 CD 的直线方程为1xysm , 2222220xmysb xa ya b,22222222()2()0m bayb msybsa, 2222224()0a bm bas ,2112222 msbyym ba,22211222()asayym ba, 由中点公式得 M22222222(,)a smsbm bam ba, 将 m 用 1m代换,得到 N 的坐标222222222(,)a smmsbm abm ab MN 的直线方程为222222222222()()(1 )b smabma syxb maamb ma,令0y ,得222a sxab 所以直线 MN 恒过定点222(,0 )a sab。 (3 )过椭圆22221xyab的短轴上任意一点(0 , )()Ttttt  作两条互相垂直的弦AB ,CD 。若弦AB ,CD 的中点分别为M ,N ,那么直线MN 恒过定点222(0 ,)b tab。 2 (4 )过椭圆22221xyab 内的任意一点2222( , )(1 )stQ s tab作两条互相垂直的弦AB ,CD 。若弦AB ,CD 的中点分别为M ,N ,那么直线MN 恒过定点222222(,)a sb tabab。 设 AB 的直线为()xsm yt,则CD 的直线方程为1 ()xsytm , 222222()0xsm ytb xa ya b,2222222222()2()()0m baybmsm t ybsmta b, 2112222()mbsmtyym ba,由中点公式得22222222()()(,)asmtmbmtsM m bam ba 直线 MN 的方程为:22222222()()()MNb m mtsasmtykxb mab ma, 即222222()MNa sb tykxabab,所以直线 MN 恒过定点222222(,)a sb tabab。 3 重庆高2018 级理科二诊20(本题满分12 分) 已知1( 1,0)F ,2(1,0)F是椭圆22143xy的左右焦点。(2)过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l(均不与 x 轴重合)分别与椭圆交于 ABCD 四点。线段 AB ,CD 的中点分别是M ,N ,求证:直线 MN 过定点,并求出该定点坐标。 设直线:(1)AB yk x,联立椭圆方程223412xy得: 2222(43)8...

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