2025年奥林匹克数学竞赛试题

奥林匹克数学竞赛试题94843(10页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。奥林匹克数学竞赛试题（几何部分）Mathematics Olympic test(geometric part)1. 已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=40°，∠C=50°，点E,F,M,N 分别为四条边的中点，求证：BC=EF+MN.【简单】2. 已知在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，P为平行四边形 ABCD 外一点，且∠APC=∠BPD=90°，求证：平行四边形 ABCD 为矩形.【简单】3.已知在三角形 ABC 中，AB=AC，CD⊥AB 于 D，P 为 BC 上一点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F.求证：PE+PF=CD.【简单】4.已知在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，CD⊥AB，AH⊥FH，EF⊥AB，求证：EF=CD+FH.【简单】5.已知三角形 ABC 和三角形 BDE 都是等腰直角三角形，连结 AD，延长 CE 交 AD 与 F,求证：CF⊥AD.【简单】6.已知三角形 ABC 和三角形 BDE 都是正三角形，连结 AD 交 BE 于F，连结 CE 交 AB 于 G，连结 FG，求证：FG∥CD.【简单】7.已知三角形 ABC 为正三角形，内取一点 P，向三边作垂线，交AB 于 D，BC 于 E,AC 于 F，求证：PD+PE+PF=三角形的高.【简单】8.已知三角形 ABC 为正三角形，AD 为高，取三角形外一点 P，向三边（或边的延长线）作垂线，交 AB 的延长线 AE 于 M，交 AC 的延长线 AF 于 N，交 BC 于 Q，求证：PM+PN-PQ=AD.【中等】9.已知在矩形 ABCD 中，对角线 AC,BD 相交于 O，DE 平分∠ADC交 AC 于 F，若∠BDE=15°，求∠COE 的度数.【中等】10.已知三角形 ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC，AE平分∠CAD，BF 平分∠ABC，交 AD 于 G，交 AE 于 H，连结 EG,求证：EG∥AC.【中等】11.已知三角形 ABC 和三角形 BDE 都是正三角形，连结 AE,CD,取AE 的中点 N，取 CD 的中点 M，连结 BM,BN,MN.求证：三角形BMN 是等边三角形.【中等】12.已知在正方形 ABCD 中，作对角线 AC 的平行线 EG，作BC=CH，连结 BE，延长 HG 交 BE 于 F，连结 CF，求证：BC=CF.【中等】13.已知在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=5，将腰CD 绕点 D 逆时针旋转 90°至 DE，连结 AE，求三角形 ADE 的面积.【中等】14.已知在任意四边形 ABCD 中，AB=CD，P,Q,R 分别为AD,BC,BD 的中点，∠ABD=25°，∠BDC=65°，求∠PQR 的度数.【中等】15.已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC...