直线与椭圆位置关系及焦点三角形等题型大全

业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随 1 椭圆的有关题型大全(教师版) 一、直线与椭圆位置关系： 1 ..点与椭圆的位置关系 点P(x 0，y 0)在椭圆12222 byax内部的充要条件是1220220 byax；在椭圆外部的充要条件是1220220 byax； 在椭圆上的充要条件是1220220 byax. 2 .直线与椭圆的位置关系. 设直线l：Ax +By +C=0，椭圆C：12222 byax，联立l 与C，消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ， 则 l 与C 相离的 Δ<0； l 与C 相切 Δ=0； l 与C 相交于不同两点 Δ>0. 3 .弦长计算 计 算 椭圆被 直线截 得的弦 长 ，往 往 是设而 不 求 ，即 设弦 两 端 坐 标 为P1(x 1 ，y 1) ，P2(x 2 ，y 2)|P1P2|=221221)()(yyxx 212212111yykxxk（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关系 （推导过程：若点1122(,)(,)A xyB xy，在直线(0)ykxb k上， 则1122ykxbykxb，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx 221212(1)[()4]kxxx x 或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk 2121221(1)[()4]yyy yk。) 4 .椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y 0)是线业 精 于 勤 荒 于 嬉 ； 行 成 于 思 毁 于 随 2 段 AB 的 中 点 ，【 则 kAB＝ － b2 x0a2 y0】 则  x21a2＋ y21b2＝ 1， ①x22a2＋ y22b2＝ 1， ② 由①－②， 得1a2(x21－x22)＋ 1b2(y21－y22)＝ 0， 变形得y1－y2x1－x2＝ －b2a2·x1＋ x2y1＋ y2＝ －b2a2·x0y0， 即 kAB＝ － b2 x0a2 y0. 例题讲解： 一，直线与椭圆的位置关系 例 题 1、判断直线03  ykx与椭圆141622 yx的位置关系 解：由1416322yxkxy可得02024)14(22kxxk )516(162...