福利经济学第一定理：数学证明

附录2A .1：偏好，效用函数和需求函数 如果消费者的偏好是理性的．．．（完备的和传递的．．．．．．．），连续的．．．，那么就存在着一个能代表该偏好的连续效用函数．．．．．．:Lu RR 。其中 L 表示消费集的维度，也就是商品的种类，除非做特别说明，我们总是假定2L ，即消费者消费1x和2x 两种商品。我们还假定偏好是单调．．的和凸的．．．．，则效用函数u 是递增的和拟凹的．．．．．．．。给定上述假定，我们能够得到一组形状良好的无差异曲线，如图 2A－1，消费者的无差异曲线是一组凸向原点的曲线，离原点越远，其代表的效用水平越高1。 图 2A －1 无差异曲线 一个常用的符合上述假定的效用函数是柯布－道格拉斯效用函数，其形式是： 1212( ,)u x xAx x 其中0,01,01A 。显然，u 是连续的，递增的，凹的。 一个理性的消费者面临的问题是在约束条件下追求效用最大化．．．．．．．．．．．．．。其约束条件为： 1 122p xp xw 其中，12,p p 为两种商品的市场价格，w 则表示消费者的财富（或收入）。给定偏好的单调性，这一约束一定是紧的，也就是1 122p xp xw。 则消费者的效用最大化问题可以描述为： 12max( ,)xu x x 1 122. .s tp xp xw 上述问题的拉格朗日函数可以写为： 121 122( ,)()Lu x xwp xp x 这一问题的一阶条件为： 11upx，22upx 假定效用函数是凹的，上述条件是充分必要的。两式相除，得到： 1 关于偏好，以及偏好与效用效用函数关系的进一步讨论，参见马斯－克莱尔等人，《微观经济理论》，中国社会科学出版社，2001 年版；瓦里安，《微观经济学（高级教程）》，经济科学出版社，1997 年版。 O x1 x2 |斜率|＝MRS 1212uuppxx 上式意味着消费者实现效用最大化的条件是消费两种商品最后一单位的边际效用之比等于两种商品的价格之比。 我们还定义消费者无差异曲线斜率的绝对值为边际替代率（MRS），表示给定效用水平保持不变（比如u ），少消费一单位商品1，必须增加消费多少单位的商品2，即21dxMRSdx 。无差异曲线的数学形式为：12( ,)u x xu，表示使消费者的效用水平达到u 的所有商品组合，两位全微分，得到12120uudxdxduxx，这样我们就得到，2121dxuuxxdx 。这一结果表明，边际替代率（MRS）等于边际效用之比。 解上述问题，得到消...