立体几何动点问题详解

1 laBACDABCA1立体几何中的动点问题详解 【引例】 （2006 北京卷4）平面a 的斜线AB 交a 于点B，过定点A 的动直线l与AB 垂直，且交a 于点C，则动点C 的轨迹是（ ）． （A）一条直线 （B）一个圆 （C）一个椭圆 （D）双曲线的一支 解法：首先考虑直线AC 的轨迹是过定点A 且与直线AB 垂直的平面， （两个平面相交有且只有一条交线）该平面与平面α 的交线即为动点C 的轨迹。所以动点C 的轨迹是一条直线。 【例1】已知矩形ABCD ，1AB ， 2BC ．将△ABD沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折． （1）求证：在翻折过程中，直线AA1 始终与BD 垂直； 证法1： 作AE⊥BD 于点E，分别连接AA1、A1E AE⊥BD 且ABD 翻折得A1BD ∴A1E⊥BD AE∩A1E=E, AE平面AA1E, A1E平面AA1E ∴BD⊥平面AA1E AA1平面AA1E ∴AA1⊥BD 2 DABCA1 证法2： 连接AA1，取AA1 的中点E，分别连接BE、DE ABD 翻折得A1BD ∴BA=BA1，DA=DA1 点E 是 AA1 的中点 ∴AA1⊥BE, AA1⊥DE BE∩ DE=E, BE平面 BDE, DE平面 BDE ∴AA1⊥平面 BDE BD平面 BDE ∴AA1⊥BD （2）在翻折过程中，以下说法正确的是____________． ① 存在某个位置，使得直线1A C 与直线 BD 垂直． ② 存在某个位置，使得直线1A B 与直线CD 垂直． ③ 存在某个位置，使得直线1A D 与直线 BC 垂直． 解法1：（运动轨迹） 点A1 的轨迹在直线 BD 的垂面 A1AF 上，而点C 在直线 BD 的垂面 HGC 上 垂面 A1AF//垂面 HGC 所以点A1 不在平面 HGC 上 由于过点C 且垂直于 BD 的直线都在平面 HGC 上 所以①不成立 由于 A1 的轨迹可以落在过点B 的直线 CD 的垂面上，所以②成立 又由于 A1 的轨迹无法落在过点D 的直线 BC 的垂面上，所以③不成立 3 解法2；（借助三垂线定理平面化垂直关系） 借助三垂线定理解决(借助正投影把空间垂直转化到平面上解决) 点A1 在平面ABCD 上的正投影为点H，而H 的轨迹为线段AA’ 由于BH 与BD 不可能垂直，所以直线1A C 与直线垂直BD 是不可能的，因此①不成立 由于点H 落在BC 上时刚好BH 与CD 垂直，所以②成立 由于HD 与BC 不可能垂直，所以直线1A D 与直线垂直BC 是不可能的，因此③不成立 解法：3（假设----检验） 假设直线1A C 与直线BD 垂直，由于A1E⊥BD 易证得 BD⊥平面A1CE 所以BD⊥CE（矛盾）...