立体几何竞赛训练题

HDABC DOBCAPxyz立体几何 竞赛训练题 1：在正方体的8 个顶点、12 条棱的中点、6 个面的中心及正方体的中心共计27 个点中，问共线的三点组的个数是多少 解答：两端点都为顶点的共线三点组共有8 7282个；两端点都为面的中心共线三点组共 有6 132 个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有123182个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有283 1849 个 2：已知一个平面与一个正方体的12 条棱的夹角都等于 ，求sin ． 解答：如右图所示，平面BCD 与正方体的12 条棱的夹角都 等于 ，过A 作AH 垂直平面BCD．连DH，则ADH  ．设正方体的边长为b，则0262 sin 6033DHbb 226333AHbbb所以3sinsin3AHADHAD ． 3：在单位正方体ABCD-A1B1C1D1 的面对角线A1B 上存在一点P 使得AP+D1P 最短，求 AP+D1P 的最小值． 解答：将等腰直角三角形AA1B 沿A1B 折起至1A A B，使三角形1A A B与四边形A1BCD1 共面，联结1A D，则1A D的长即为AP+D1P 的最小值，所以， 2201112 1 1 cos13522A D    4：已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1 的对棱BB1、D1 上有两个动点E、F，BE=D1F=  （ 102）．设EF 与AB 所成的角为 ，与BC 所成的角为 ，求的最小值． 当12 时， 2．不难证明( )f是单调减函数．因此的最小值为2． 5.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝12PA， 点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)求证OD ∥平面PAB ；(Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC所成角的正弦． 解答OPABCOAOCABBC 平面， ， ，.OAOBOAOPOBOP ，， OOPzOxyz以为原点，射线为非负 轴，建立空间直角坐标系如图， 222,0,0 ,0,,0 ,,0,0222ABaAaBaCa设，则 0,0,.OPhPh设，则  DPC 为的中点，Ⅰ212,0,,,0,422ODahPAah  又， 1...2ODPAODPAODPAB   平面∥∥ A1B1C1D1FEDCBAA1B1C1D1FEDCBAxzy 2 ,PAa Ⅱ7 ,2ha 214,0,,44ODaa  11,1,,7PBCn 可求得平面的法向量210cos,.30OD nOD ...