空间中垂直关系的判定与性质 一．基础知识整合 1 .直线与平面存垂直 （1 ）定义：如果直线l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α 互相垂直，记作l⊥α.直线l叫作平面α 的垂线，平面α 叫作直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足． （2 ）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图 （3 ）判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥al⊥baαbαa∩b＝P⇒l⊥α 2 .二面角（1 ）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． （2 ）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB－β，也可记作2 ∠α—AB—β. （3 ）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角． 3 .平面与平面垂直 （1 ）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2 ）判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 aαa⊥β ⇒α⊥β 4 .直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行 a⊥αb⊥α ⇒a∥b 5 .平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βα∩β＝laαa⊥l⇒a⊥β 二．典例精析 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，且 S 为所在平面外一点，满足 SA＝SB＝SC.D为 AC 的中点．求证：SD⊥平面ABC. 证明： 在 Rt△ABC 中 ， ∠B＝ 90° ， 且 D 为 AC 的 中 点 ， ∴BD＝ AD＝ DC.又 SA＝ SB＝ SC， SD为 公 共 边 ， ∴△SBD≌△SAD≌△SCD， ∴∠SDB＝ ∠SDA＝ ∠SCD＝ 90°， ∴SD⊥AD， SD⊥BD， AD∩BD＝ D， ∴SD⊥平 面 ABC. 变式训练 1：如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A，B 的点，PA⊥⊙O 所在的平面，AF⊥PC 于F，求证：BC⊥平面PAC. 证明：因 为 AB 为 ⊙O...
