2025年初中数学竞赛标准教程及练习辅助圆VIP专享

初中数学竞赛精品原则教程及练习（66）辅助圆一、内容提纲1.通过两个点可以画无数个圆；通过三个点作圆，必要是不在同一直线上三个点，可以作一种圆，并且只能作一种圆.2.通过四点作圆(即四点共圆)有如下鉴定定理：①到一种定点距离相等所有点在同一种圆上(圆定义).②一组对角互补四边形顶点在同一圆上.③一种外角等于它内对角四边形顶点共圆.④同底同侧顶角相等三角形顶点共圆.推论：同斜边直角三角形顶点共圆(斜边就是圆直径).3.画出辅助圆就可以应用圆有关性质.常用有：①同弧所对圆周角相等.②圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.③圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距等量关系.④圆中成比例线段定理：相交弦定理 ，切割线定理.4.证明 型如 ab+cd=m2常用切割线定理二、例题例 1.已知：点 O 是△ABC 外心，BE，CD 是高.求证：AO⊥DE证明：延长 AO 交△ABC 外接圆于 F，连接 BF. O 是△ABC 外心∴AF 是△ABC 外接圆直径，∠ABF=Rt∠. BE，CD 是高，∠BDC=∠CEB=Rt∠.∴B，C，E，D 四点共圆(同斜边直角三角形顶点共圆)∴∠ADE=∠ECB=∠F.∴∠AGD=∠ABF=Rt∠，即 AO⊥DE.例 2.正方形 ABCD 中心为 O，面积为 1989cm2，P 为正方形内一点，且∠OPB=45 ，PA∶PB=5∶14，则 PB=____cm. 解： ∠OPB=∠OAB=45 ∴ABOP 四点共圆(同底同侧顶角相等三角形顶点共圆)∴∠APB=∠AOB=Rt∠.在 Rt△APB 中，设 PA 为 5x，则 PB 是 14x.∴(5x)2+(14x)2=1989.解得 x=3， 14x.＝42.∴PB=42 (cm).例 3.已知：平行四边形 ABCD 中，CE⊥AB 于 E，AF⊥BC 于 F.求证：AB×AE+CB×CF=AC2.证明：作 BG⊥AC 交 AC 于 G. CE⊥AB， AF⊥BC.∴A，F，B，G 和 B，E，C，G 分别共圆. (对角互补四边形顶点共圆)根据切割线定理，得AB×AE=AG×ACCB×CF=CG×AC∴AB×AE+CB×CF=AC(AG+CG)=AC2.例 4.已知：AD 是 Rt△ABC 斜边高，角平分线 BE 交 AD 于 F.求证：AE2=AB2－BE×BF.分析：根据同角余角相等，可证 AE=AF.由射影定理 AB2=BD×BC.故只要证 AE×AF＝BD×BC－BE×BF发明应用切割线定理条件，作△ABC外接圆并延长 BE 交圆于 G，得F、D、C、G 四点共圆 . ∴ BD×BC=BF×BG.∴右边= BF×BG.－ BE×BF=BF(BG－BE)=BF×EG从而转为要证 AE×AF= BF×BG. 即只要证△AEG∽△BFA……(证明由同学自已完毕)例 5 已知：从⊙O 外一点 P 作⊙O 两条切线 PA，PB 切点 A 和 B，在 AB 上任取一...