初中数学竞赛精品原则教程及练习（39）线段、角相等关系一、内容提纲证明线段、角相等，在直线形中，最常用措施是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。构造全等三角形，要充足运用已知条件中对应相等关系，添引辅助线要有助于增长对应相等元素，要注意总结辅助线规律，观测两个三角形全等时一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）一.证明两条线段相等常用定理1.在同一种三角形中，证明等角对等边。2.在两个三角形中，证明全等。3.在平行线图形中①应用平行四边形性质② 用平行线等分线段定理4.运用比例式证明相等：若 则 x=y；若则 x=y5.应用等量代换、等式性质二.证明两个角相等常用定理1. 在同一种三角形中，证明等边对等角。2. 在两个三角形中，证明全等或相似。3.在平行线图形中①用平行四边形对角相等②行线同位角相等，内错角相等③边分别互相平行（或垂直）两个锐角（或两个钝角）相等④角（或等角）余角（或补角）相等⑤用等量代换、等式性质二、例题例 1.证明等腰梯形鉴定定理“同一底上两个角相等梯形是等腰梯形”已知：梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝∠B求证：AD＝BC下面提供三种基本证法：1.把 BC、AD 集中到同一种三角形，证它等腰三角形。辅助线是：过点 D 作 DE∥BC，咱们称它为“平移” BCDE 是平行四边形，可证△DAE 为等腰三角形2.以 BC、AD 为对应边，构造两个全等三角形，为增长对应相等元素，辅助线为：作两条高 CM 和 DN，根据夹在平行线间平行线段相等，可用角角边证全等。3.由∠A＝∠B，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，辅助线是：分别延长 AD 和 BC交于 P。 PD C D C D C A E B A N M B A B 例 2.已知：在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC 和 BD 相交于 O,AD、BC 延长线相交于 P求证：PO 平分 AB 证明：设 PO 延长线交 AB 于 E，交 CD 于 F AB∥CD ∴ ＝＝① ＝＝② ①×② 得 ∴AE2＝BE2 AE＞0，BE＞0∴AE＝BE，即 PO 平分 AB 例3. 已 知 ： △ ABC中 ， AC ＝ 3AB ， AF是 ∠ A平 分 线 ， 过点C作CD⊥AF，D是垂足 求证：AD 被 BC 平分 A 证 明 ： 以AD为 轴 作 △ ADC对 称 三 角 形ADE B 那么 DE＝DC，AE＝AC＝3AB，BE＝2AB G F取 BE 中 点 G ， 连 结 DG E C 则 DG∥BC， AB＝BG D ∴AF＝FD，即 AD 被 BC 平分例 4.已知：在△AB...
