2025年初中数学竞赛标准教程及练习未知数比方程个数多的方程组解法VIP专享

初中数学竞赛精品原则教程及练习(55)未知数比方程个数多方程组解法一、内容提纲在一般状况下，解方程或方程组，未知数个数总是与方程个数相似，但也有某些方程或方程组，所含未知数个数多于方程个数，波及在列方程解应用题时，引入辅助未知数. 解此类方程或方程组，一般有两种状况：一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几种未知数和(积)等，无需求出所有解；二是在实数范围内，可运用其性质，增长方程或不等式个数. 例如，运用取值范围，非负数性质等.二、例题例 1. 在实数范围内，解下列方程或方程组：①； ② x2+xy+y2－3x－3y+3=0； ③解：① 根据在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零.得不等式组 解得 x2=1 而 x≠1， ∴② 整顿为有关 x 二次方程，运用方程有实数根，则鉴别式 △≥0.x2+(y－3)x+(y2－3y+3)=0. x 是实数， ∴△≥0.即( y－3)2－4(y2－3y+3)≥0 . 解得 (y－1)2≤0 . 而(y－1)2≥0. ∴y=1.∴是原方程解.③ 消去一元后，运用实数平方是非负数性质. 由①得 z=2－x－y . 代入②得 2xy－(2－x－y)2－4=0. 整顿配方，得(x－2)2+(y－2)2=0. 相加得 0 两个数，只有是互为相反数.而 x，y 是实数，∴(x－2)2≥0，(y－2)2≥0.∴满足等式条件只能是：.∴方程组解是 本题在消去 z 后，也可以仿②，写成有关 x 二次方程，用鉴别式求解.例 2. 一种自然数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 4，求适合条件最小自然数.分析：本题有多种解法：①交集法， ②设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，③设二元，求二元一次方程整数解.解法一：除以 4 余 1 自然数集合：{1，5，9，13，17，21，…37…}；除以 5 余 2 自然数集合：{2，7，12，17，…37…}；除以 11 余 4 自然数集合：{4，15，26，37，…}.三个集合公共元素中最小自然数是 37. 解法二：设所求自然数 为 4a+1 或 5b+2 或 11c+4 (a,b,c 都是自然数). 得方程组 由(1)得 a=. 设 (k 为正整数)， 那么 b=4k－1， a=5k－1.由(2)得 c=.要使为整数，k 取最小正整数 2.这时 c=3 (也可求得 b=7， a=9)， 所求自然数 是 37.解法三：设所求自然数为 x，则，， 都是自然数. >> . ∴+－ 也是自然数. 设 y=+－ . 去分母，得 200y=31x－47.x=.y 取最小正整数 5，能使为整数.∴x=37, 即最小自然数是 37.例 3. 有甲，乙，丙三种货品.若购置甲 3 件，乙 7...