2025年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷

镇海中学数学竞赛模拟试卷（1） 姓名___＿___一、填空题1、已知函数，则____________．2、A,B 两点分别在抛物线和上，则的取值范围是__＿_＿____＿＿_.3、若，则的最大值为＿____＿__＿___.4、已知△ABC 等腰直角三角形,其中∠C 为直角，Ａ C=Ｂ C=1，过点 B 作平面Ａ BC 的垂线 DB,使得Ｄ B=１,在 DA、DC 上分别取点Ｅ、F，则△BEF 周长的最小值为_＿______＿_＿＿．5、已知函数，对任意的，恒成立,则正实数 x 的取值范围为_＿____＿___＿_.6、已知向量满足，且，若为的夹角，则的值为_＿＿_____＿___.7、既有一种能容纳 10 个半径为 1 的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为___＿_＿_____＿.8、将 10 个小球（5 个黑球和 5 个白球）排场一行,从左边第一种小球开始向右数小球,无论数几种小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为_＿____＿＿_＿＿_．二、解答题9.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 △ Ａ BC 中 ， 内 角 A ， B, Ｃ 对 边 的 边 长 分 别 是 a ， b,c, 向 量，向量，且满足.( )Ⅰ 求△ABC 的内角 C 的值；（Ⅱ)若 c=2，２ｓ in2 Ａ+si ｎ(2B+Ｃ）=s ｉ n Ｃ,求△Ａ BC 的面积.10.(本小题满分 14 分）已知数列满足：．（1)求证:数列是等比数列,并求的通项公式;（２)若,且数列的前ｎ项和为，求证:.11.(本小题满分 1 ４分）设.(e 是自然对数的底数）（Ⅰ)若对一切恒成立,求 a 的取值范围；（Ⅱ)求证:．12.(本小题满分 15 分)设正数ｘ,y 满足,求使恒成立的实数的最大值.13.（本小题满分１ 5 分)已知椭圆及点，过点 P 作直线ｌ与椭圆Ｃ交于 A、B 两点，过 A、B 两点分别作Ｃ的切线交于点Ｑ.(1)求点 Q 的轨迹方程;(2)求△Ａ BQ 的面积的最小值.2 ０高中数学竞赛模拟试卷（１)答案1.【解析】.2.【解析】由于,则只需要考虑的范围.故的取值范围为.3.【解析】4.【解析】由题意可知，,且∠BDA 与∠CD Ａ之和为.如图，将侧面ＢＤ A 和侧面 C ＤＢ分别折起至面和，且与侧面 ADC 位于同一种平面上.则△BＥ F 周长的最小值即面上两点之间的线段长．由前面的分析可知,,由余弦定理可得,因此,△BEF 周长的最小值为.5.【 解 析 】为 奇 函 数 且 为 增 函 数等 价 于即即对 任 意 的成立即,因此，即 0