高中数学竞赛培训资料 函数例一． 定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x－1x )=x2+1x2 （对所有 x≠0）则 f(x)的体现式是例二． 函数 f(x)对任意正实数 x，y 满足 f(xy)=f(x)+f(y)，且 f(2)=1，求 f(164 )之值。例三． 设 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中 a，b，c，d 是常数，若 f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30，求 f(10)+f(－6)例四． 对于每个实数 x，设 f(x)是 4x+1，x+2，－2x+4 三个函数中的最小值，则 f(x)的最大值是多少？例五． （91 年全国联赛试题）设函数 y=f(x)对一切实数 x 都满足：f(3+x)=f(3－x)，方程f(x)=0 恰有 6 个不一样的实根，则这 6 个实根之和为（A） 18 （B） 12 （C） 9 （D） 0例六．（88 年全国联赛试题）设有三个函数，第一种是 y=ϕ( x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数图象有关直线 x+y=0 对称，那么第三个函数是(A) y=ϕ( x) （B）y=－ϕ(−x) (C) y=－ϕ−1(x ) (D) y=－ϕ−1(−x)例七．设 f(x)=424x+2 ，求 f(11001 )+f(21001 )+f(31001 )+⋯+ f(10001001 ) 之值。例八．定义在 R 上的函数 y=f(x)具有如下性质1． 对任何 x∈R 均有 f (x3 ) = f 3 (x)2． 对任何 x1, x2 ∈R 且 x1≠x2 均有 f (x1)≠f (x2) 则 f 2（－1）+f 2（0）+f 2（1）=例九．若 a＞0,a≠1，F(x)是一种奇函数，则 G(x)=F(x)[1ax−1+ 12]是（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）与 a 的取值有关例十．已知函数 y=f(x)，x∈R，f(0)≠0，且对于任意实数 x1，x2均有 f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)×f(x1−x22)，则此函数是（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）奇偶性不确定例十一．已知实数 x,y 满足(3x+y)2+x5+4x+y=0，求证：4x+y=0例十二．已知函数 f(x)满足：1）f(12 )=12）值域为[−1,1]3）严格递减,4）f(xy)=f(x)+f(y) 试求不等式 f －1(x) f －1(11−x )≤12 的解集。例十三．对任意整数 x，函数 f(x)满足 f(x+1)=1+f (x )1−f ( x) ，若 f(1)=2，求 f()例十四．（92 年全国联赛试题）设 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足下列关系：f(10+x)=f(10－x)，f(20+x)=－f(20－x)，则 f(x)是（A）偶函数又是周期函数 （B）偶函数但非周期函数（C）奇函数又是周期函数 （D）奇函数但非周期函数例十五．（90 年全国联赛试题）设 f(x)是定义在实数集上的周期函数且...
