上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【阐明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分 60 分，前 4 题每题 7 分，后 4 小题每题 8 分）1．如图，正六边形的边长为 1，它的 6 条对角线又围成一种正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ．2．已知正整数满足：，则的最小也许值是 ．3．若，，，则 ．4．已知有关的方程仅有一种实数解，则实数的取值范围是 ．5．如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知，，则 ．6．方程的非负整数解 ．7．一种口袋里有 5 个大小同样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一种是黑色的，依次从中摸出 5 个小球，相邻两个小球的颜色均不相似的概率是 ．（用数字作答）8．数列定义如下：.若，则正整数的最小值为 ．二、解答题9．（本题满分 14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，，，对角线 AC 与 BD 的夹角，记直线 AB 与 CD 的距离为．求的体现式，并写出 x 的取值范围．10．（本题满分 14 分）给定实数，求函数的最小值．11．（本题满分 16 分）正实数满足；求证：（1）；（2）．12．（本题满分 16 分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集 A 的元素个数的最小值：①；② A 中的元素（除 1 外）均为 A 中的另两个（可以相似）元素的和．（1）求的值；（2）求证：．上海市高中数学竞赛（新知杯）参照答案1、 2、92 3、11 4、5、 6、 7、 8、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得． ① …………………（2 分）在△OBC 中，由余弦定理，因此 ， ②由①，②得 ． ③ …………………（5 分）因此：，故：， 因此 ：． …………………（10 分）由③可得，，故．由于，结合②，③可得：，解得（结合） ． 综上所述，，． …………………（14 分）10．解 ． 当时，，此时：，且当时不等式等号成立，故． ………（6 分）当时，，此时“耐克”函数在内是递减，故此时． 综上所述， …………………（14 分）11．证 （1）记，由平均不等式：． …………………（4 分）于是 ，因此 ，而，因此，即，从而． …………………（10分） （2）又由于：，因此 ，故 ． …………………（16 分）12 ． 解 （ 1 ） 设 集 合， 且 A 满 足 （ a ） ， （ b ） ． 则． 由 于不满足（b），故．又 都不满足 （b），故．而集合满足（a），（b），因此． …………...
