函数值域的求法VIP专享

函数值域的求法题型一：二次函数的值域例1．求f ( x)=x2−ax+6 的值域解答：配方法：f ( x)=x2−ax+6=(x−a2)2+6−a24 ≥6−a24 所以值域为[6−a24 ，+∞]例2．求f ( x)=x2−x+6 在[−1，1]上的值域解答：函数图像法：f ( x)=x2−x+6=(x−12)2+234画出函数的图像可知，,f ( x)=x2−x+6 在x= 12 时取到最小值234 ，而在x=−1 时取到最大值 8，可得值域为[234 ，8]。例3．求f ( x)=x2−ax+6 在[−1，1]上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟 a 的取值有关，所以进行分类讨论：① 当a≤−2 时，对称轴在x=−1 的左侧，所以根据图像可知，f max=f (1)=7−a，f min=f (−1)=7+a所以此时的值域为[7+a，7−a ]② 当−2≤a≤0时，对称轴在x=−1 与 y 轴之间，所以根据图像可知，f max=f (1)=7−a，f min=f ( a2 )=6−a24所以此时的值域为[6−a24 ，7−a]③ 当0≤a≤2时，对称轴在 y 轴与x=1 之间，所以根据图像可知，f max=f (−1)=7+a ，f min=f ( a2 )=6−a24所以此时的值域为[6−a24 ，7+a]④ 当2≤a 时，对称轴在x=1 的右侧，所以根据图像可知，f max=f (1)=7+a ，f min=f (−1)=7−a所以此时的值域为[7−a，7+a ]题型二：指数、对数函数的值域例4．求f ( x)=log2(x2−2 x+6) 的值域解答：复合形式用换元：令t=x2−2x+6 ，则由例 1 可知，t∈[5,+∞)根据单调性，可求出log 2t 的值域为[log25,+∞)例5．求f ( x)=4x+2x+1+6 的值域解答：因为4 x=(2x )2，所以，采纳换元发，令t=2x，则t∈ (0,+∞)则原函数变为t 2+2t+6 ，可以根据二次函数值域的求法得到值域为(6,+∞ )题型三：分式函数的值域例6．求函数f ( x)=2x+3x+1的值域解法一：分离变量法，将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令t=x+1，原函数变为2t +1t=2+1t ，由反比例函数的性质可知，值域为(−∞,2)∪(2,+∞)解 法 二 ： 反 函 数 法 ， 利 用 原 函 数 的 值 域 就 是 反 函 数 的 定 义 域 ， 来 求 值 域 。 令y=f ( x)=2 x+3x+1 ，则yx+ y=2x+3 ，得到x=3−yy−2 ，可知y≠2解法三：解析几何法。考虑数形结合，联想到分式y1− y2x1−x2 表示两点间连线的斜率，则讲原函数写为2x−(−3)x−(−1) ，可以看成是 (−1,−3 ), (x ,2 x)两点连线的斜率，其中(x ,2 x ) 是动点，构成y=2x 直线轨迹，则连线必须与 y=2x 相交...