函数的周期性及对称性

函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 y＝f(x)定义域的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 y＝f(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 y＝f(x)同时关于直线 x＝a 与 x＝b 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T＝2|a－b|性质 6、若函数 y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T＝2|a－b|性质 7、若函数 y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 x＝b 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T＝4|a－b|3.函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“同表示周期性，反表示对称性”。1、图象关于直线对称推论 1：的图象关于直线对称推论 2、的图象关于直线对称推论 3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论 1、的图象关于点对称推论 2、的图象关于点对称推论 3、的图象关于点对称例题分析：1．设是上的奇函数，，当时，，则等于 ( )（A）0.5 （B） （C）1.5 （D）2、（）已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）A．－1 B．0 C．1 D．23．设是定义在上的奇函数，求4．函数对于任意实数满足条件，若，则___5．已知是定义在上的奇函数，且它的图像关于直线对称。（1）求的值；（2）证明是周期函数；（3）若，求时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当 x∈[2,4]时，求 f(x)的解析式．巩固练习：1．函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式 xf(x)>0 在[－1,3]上的解集为( )A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)2．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x∈R 恒有 f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：① 2 是函数 f(x)的周期；②函数 f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③ 函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；④当 x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.其中所有正确命题的序号是________．3．设定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)，满足对任意 t∈R，都有 f(t)＝f(1－t)，且 x∈时，f(x)＝－x2，则 f(3)＋f ...