函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数,若对于函数 y=f(x)定义域的任一变量 x 点有下列条件之一成立,则函数 y=f(x)是周期函数,且 2|a|是它的一个周期。①f(x+a)=f(x-a) ②f(x+a)=-f(x)③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=-1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 y=f(x)同时关于直线 x=a 与 x=b 轴对称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T=2|a-b|性质 6、若函数 y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T=2|a-b|性质 7、若函数 y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线 x=b 轴对称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T=4|a-b|3.函数图象本身的对称性(自身对称)若,则具有周期性;若,则具有对称性:“同表示周期性,反表示对称性”。1、图象关于直线对称推论 1:的图象关于直线对称推论 2、的图象关于直线对称推论 3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论 1、的图象关于点对称推论 2、的图象关于点对称推论 3、的图象关于点对称例题分析:1.设是上的奇函数,,当时,,则等于 ( )(A)0.5 (B) (C)1.5 (D)2、()已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.-1 B.0 C.1 D.23.设是定义在上的奇函数,求4.函数对于任意实数满足条件,若,则___5.已知是定义在上的奇函数,且它的图像关于直线对称。(1)求的值;(2)证明是周期函数;(3)若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式.巩固练习:1.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[-1,3]上的解集为( )A.(1,3) B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)2.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=1-x,则:① 2 是函数 f(x)的周期;②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;③ 函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0;④当 x∈(3,4)时,f(x)=x-3.其中所有正确命题的序号是________.3.设定义在 R 上的奇函数 y=f(x),满足对任意 t∈R,都有 f(t)=f(1-t),且 x∈时,f(x)=-x2,则 f(3)+f ...