函数的性质（二）

函数的性质（二）1．下列函数中，对于任意 xR ，同时满足条件f (x )=f (−x)和f (x−π )=f (x)的函数是（ ）． A．( )sinf xx C．( )cosf xxB．( )sin cosf xxxD．22( )cossinf xxx2．为了得到函数πsin 23yx 的图象，只需把函数sin 2yx的图象（ ）．A．向左平移π3 个单位长度B．向右平移π3 个单位长度C．向左平移π6 个单位长度D．向右平移π6 个单位长度3．已知函数2sin( )1xf xx ．下列命题：① 函数( )f x 的图象关于原点对称； ② 函数( )f x 是周期函数；③ 当2x时，函数( )f x 取最大值； ④ 函数( )f x 的图象与函数1yx的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ）A． ①③ B．②③ C． ①④ D．②④【答案与解析】1. 因为f (x )=f (−x), 应该联想到偶函数，可以把 A、B 排除掉。然后看第二个性质，其实表示的是函数的周期为 π，那么可以把 C 排除掉。我们再看下 D，运用二倍角公式，D 项可以化简为 cos2x, 符合题意。2. 本题需要把sin 2yx的图像通过平移的方式变为πsin 23yx 的图像。根据一般的图像平移，拉伸变化方法，可以知道答案是 D。我们可以通过特别点来验证一下。原函数过坐标原点，而平移之后的函数过（ π/6,0）既这个点向右平移了 π/6 个单位。3. 本题选 D，我们一项项来看：① 函数关于原点对称，运用奇函数定义，题中的函数是一个奇函数，本项正确② 正弦函数是一个周期函数，但是原函数分母部分在 x 轴正半周单调，所以本项错误③ 通过求导，发现 x 在等于 π/2 的时候，导数并不为零，所以本项错误④ 在区间（0，π/2）上，sinx