第 7 讲 函数的奇偶性[玩前必备]1.函数奇偶性的定义(1)奇函数:设函数 y=f(x)的定义域为 D,假如对 D 内的任意一个 x,都有-x∈D,且 f(-x)=- f ( x ) ,则这个函数叫做奇函数.(2)设函数 y=g(x)的定义域为 D,假如对 D 内的任意一个 x,都有-x∈D,且 g(-x)=g ( x ) ,则这个函数叫做偶函数.2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形,反之,假如一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数 . (2)偶函数的图象是以 y 轴 为对称轴的轴对称图形;反之,假如一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数 . 3.推断奇偶性的步骤.4.奇偶性的有关结论(1)若奇函数在处有意义,则有.(2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同;偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。[玩转典例]题型一 推断函数的奇偶性例 1 推断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2(x2+2);(2)f(x)=;(3)f(x)=+.[玩转跟踪]1.推断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=;(2)f(x)=;2.推断函数的奇偶性:;例 2 推断函数的奇偶性.[玩转跟踪]1.推断函数y=x2−2|x|+1的奇偶性,并指出它的单调区间.题型二 已知函数奇偶性求参数值例 3 (1)若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=________,b=________.(2)设函数为奇函数,则 a=________.[玩转跟踪]1.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________.2.定义在(−1,1)上的奇函数f ( x)=x+mx2+nx+1 ,则常数m= ____,n=_____题型三 奇偶性求解析式或函数值例 4 已知是 R 上的偶函数,且当 x>0 时,,则当时,=________.思考:假如改为是 R 上的奇函数,则当时,= ________.例 5 设 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=,求函数 f(x),g(x)的解析式[玩转跟踪]1.已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-1,求函数 f(x)的解析式.2.设 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=x2+2x,求函数 f(x),g(x)的解析式.题型四 函数奇偶性与单调性的综合应用例 6 设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)