第7讲-函数的奇偶性学生VIP专享

第 7 讲 函数的奇偶性[玩前必备]1.函数奇偶性的定义(1)奇函数：设函数 y＝f(x)的定义域为 D，假如对 D 内的任意一个 x，都有－x∈D，且 f(－x)＝－ f ( x ) ，则这个函数叫做奇函数.(2)设函数 y＝g(x)的定义域为 D，假如对 D 内的任意一个 x，都有－x∈D，且 g(－x)＝g ( x ) ，则这个函数叫做偶函数.2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，假如一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数 . (2)偶函数的图象是以 y 轴 为对称轴的轴对称图形；反之，假如一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数 . 3.推断奇偶性的步骤.4.奇偶性的有关结论(1)若奇函数在处有意义，则有.(2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同;偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。[玩转典例]题型一 推断函数的奇偶性例 1 推断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝＋.[玩转跟踪]1.推断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝；2.推断函数的奇偶性：；例 2 推断函数的奇偶性.[玩转跟踪]1.推断函数y=x2−2|x|+1的奇偶性，并指出它的单调区间.题型二 已知函数奇偶性求参数值例 3 (1)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则 a＝________，b＝________.(2)设函数为奇函数，则 a＝________.[玩转跟踪]1.若函数 f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数 a＝________.2.定义在(−1,1)上的奇函数f ( x)=x+mx2+nx+1 ，则常数m= ____,n=_____题型三 奇偶性求解析式或函数值例 4 已知是 R 上的偶函数，且当 x>0 时，，则当时，＝________.思考：假如改为是 R 上的奇函数，则当时，＝ ________.例 5 设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝，求函数 f(x)，g(x)的解析式[玩转跟踪]1.已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝2x－1，求函数 f(x)的解析式.2.设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数 f(x)，g(x)的解析式．题型四 函数奇偶性与单调性的综合应用例 6 设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)