通过动点轨迹求向量的最值

25通过动点轨迹求向量的最值37. 2024 全国 3 卷理科第 12 题——等和线就是找动点的轨迹37.（2024 全国 3 卷理科第 12 题）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 AP =  AB +  AD ，则+ 的最大值为（）A．3B．2C．D．2解析：法一（建系）略；法二：（等和线）如下图， A, F , B 三点共线 AF  AB  PF  PA PB ，  1，即是说：F 的轨迹是以 AB 所在的直线   1。AF  AB  PF  PA PB ，已知 A, B 是两个定点，若 PC  PA PB ，则，若  m, m  0 ， PC  PA PB  m(PAPB) ，注意到 1，则PAPB 轨迹是直线mmmmmmAB，则 C 的轨迹是与 AB 平行的直线 DE（等和线），且 P 到 C 的距离是 P 到 AB 距离的 m 倍。比如：若 PC  PA PB ，  2 ，则 C 的轨迹为与 AB 平行的直线 l ，且 P 到 l 的 距离为 P 到 AB 距离的 2 倍。平移 BD 与圆相切，切线记为 l ，易知 A 到 l 的距离为 A 到 BD 距离的 3 倍，故  3。一、等和线变式 1 ： 已知 A 和 B 是单位圆 O 上的两点， AOB  2， 点 C 在劣弧 AB 上， 若3OC  xOA  yOB，其中， x, y  R ，则 x  y 的最大值是 ．1【解析】设 A, B 的中点为 D ，则 OA OB  2 OD ，且 OD  ，当2BOBDR OD因为 OC  1，当 O, C, D 三点共线时， x  y 最大，最大值为 2.变式 2：已知 O 为 ABC 的外心， ABC  600 , BO  BA BC ，则（ ）A.  的最小值为 1 ，此时 ABC 为直角三角形2B.  的最大值为 1 ，此时 ABC 为直角三角形2C.  的最小值为 2 ，此时 ABC 为等边三角形3D.  的最大值为 2 ，此时 ABC 为等边三角形3【解析】如图，延长 BO 交 AC 于 D，由 A,C,D 三点共线，得 BD  x BA y BC ，且 x  y  1...