第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．几何法证正弦定理设 BD 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，则 BD＝2R，下面按∠A 为直角、锐角、钝角三种情况加以证明．(1)若∠A 为直角，如图①，则 BC 经过圆心 O，∴BC 为圆 O 的直径，BC＝2R，＝＝BC＝2R.(2)若∠A 为锐角，如图②，连结 CD，则∠BAC＝∠BDC，在 Rt△BCD 中，＝， ＝BD＝2R，∴＝2R.即＝2R.(3)若∠A 为钝角，如图③，连结 CD，则∠BAC＋∠CDB＝π，所以 sin∠BAC＝sin∠CDB，在 Rt△BCD 中，＝BD＝2R，又 ＝，∴＝2R，即＝2R.可证得：＝2R.同理可证：＝2R，＝2R.所以，不论△ABC 是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形，都有：＝＝＝2R(其中 R为△ABC 的外接圆的半径)．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于其外接圆的直径．2．坐标法证余弦定理如图所示，以△ABC 的顶点 A 为原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点 B 可作角 A 终边的一个点，它到原点的距离 r＝c.设点 B 的坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A，即点 B 为(ccos A，csin A)，又点C 的坐标是(b,0)．由两点间的距离公式，可得：a＝BC＝.两边平方得：a2＝(b－ccos A)2＋(－csin A)2＝b2＋c2－2bccos A.以△ABC 的顶点 B 或顶点 C 为原点，建立直角坐标系，同样可证b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的积的 2 倍. 余弦定理的第二种形式是：cos A＝，cos B＝，cos C＝.易知：A 为锐角⇔b2＋c2－a2>0；A 为直角⇔b2＋c2－a2＝0；A 为钝角⇔b2＋c2－a2<0.由此可见：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．一、解三角形的常见类型及解法方法链接：在三角形的边、角六个元素中，只要知道三个，其中至少一个元素为边，即可1求解该三角形，按已知条件可分为以下几种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a ，B ，C)正弦定理由 A＋B＋C＝180°，求角 A；由正弦定理求出 b 与 c.在有解时只有一解．两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解．三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角 A、B；再利用 A＋B＋C＝180°，求出角 C.在有解时...
