2010届高三数学一轮复习学案：数列与函数的极限（2）

数列与函数的极限（2）一、知识回顾 1、函数的极限当 x→∞时函数 f(x)的极限:；； 当自变量 x 取正值并且无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a,就说当 x 趋向于正无穷大时, 函数 f(x)的极限是 a,记作,(或 x→+∞时,f(x)→a)当自变量 x 取负值并且无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a,就说当 x 趋向于负无穷大时, 函数 f(x)的极限是 a,记作,(或 x→-∞时,f(x)→a)注：自变量 x→+∞和 x→-∞都是单方向的，而x→∞是双向的，故有以下等价命题令，分别求当 x→x0时函数 f(x)的极限:； ； 如果当 x 从点 x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于 x0时，函数 f(x)无限趋近于常数 a。就说 a 是函数 f(x)的左极限，记作。如果当 x 从点 x=x0右侧（即 x＞x0）无限趋近于 x0时，函数 f(x)无限趋近于常数 a。就说 a 是函数 f(x)的右极限，记作。注：1与函数f（x）在点 x0处是否有定义及是否等于 f（x0）都无关。2。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限；②时，，③时，的值不唯一。4）函数极限的运算法则：若，，那么；；；；。注：以上规则对于 x→∞的情况仍然成立。5）两个重要的极限：；和一个法则：罗必塔法则：2、函数的连续性(1)函数连续性的概念:① 如果函数 f(x)在 x=x0处及其附近有定义,而且,就说函数 f(x)在 x=x0处连续。注：函数 f(x)在 x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数 f(x)在 x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数 f(x)在 x=x0处有极限；Ⅲ）函数 f(x)在 x=x0处的极限值等于这一点处的函数值 f(x0)。②右连续（或左连续）：如果函数 f(x)在 x=x0处及其右侧（或左侧）有定义，而且（或）。③若函数 f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在 a 点右连续，b 点左连续，则称 f(x)在闭区间[a,b]上连续。注：函数 f(x)在(a,b)内连续，只要求在(a,b)内每一点都连续即可，对在端点处是否连续不要求。(2)函数连续性的运算:① 若 f(x)，g(x)都在点 x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，(g(x)≠0)也在点 x0处连续。②若 u(x)都在点 x0处连续，且f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u(x)]在点 x0处连续。(3)初等函数的连续性:① 基本初等函数（指数函数，对数函数，三角函数等）在定义域里每一点处都连续。②基本初等函数及常数经过有限次四则运送所得到的函数，都是初等函数，初等函数在其定...