第 3 课时 等比数列1．等比数列的定义：＝q（q 为不等于零的常数）．2．等比数列的通项公式：⑴ an＝a1qn－1 ⑵ an＝amqn－m 3．等比数列的前 n 项和公式： Sn＝ 4．等比中项：如果 a，b，c 成等比数列，那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项，即 b2＝ （或 b＝ ）．5．等比数列{an}的几个重要性质：⑴ m，n，p，q∈N*，若 m＋n＝p＋q，则 ．⑵ Sn是等比数列{an}的前 n 项和且 Sn≠0，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．⑶ 若等比数列{an}的前 n 项和 Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比 q＝ ．例 1. 已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数 n 和公比 q 的值．解： {an}是等比数列，∴a1·an＝a2·an－1，∴，解得或若 a1＝2，an＝64，则 2·qn－1＝64∴qn＝32q由 Sn＝，解得 q＝2，于是 n＝6若 a1＝64，an＝2，则 64·qn－1＝2∴qn＝由 Sn＝解得 q＝，n＝6变式训练 1.已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则 a11＝ ．解：64 或 1 由或 ∴ q2＝或 q2＝2，∴ a11＝a7 q2，∴ a11＝64 或 a11＝1例 2. 设等比数列{an}的公比为 q(q>0)，它的前 n 项和为 40，前 2n 项和为 3280，且前 n 项中数值最大项为 27，求数列的第 2n 项．典型例题基础过关解：若 q＝1，则 na1＝40，2na1＝3280 矛盾，∴ q≠1．∴ 两式相除得：qn＝81，q＝1＋2a1又 q>0，∴ q>1，a1>0∴ {an}是递增数列．∴ an＝27＝a1qn－1＝解得 a1＝1，q＝3，n＝4变式训练 2.已知等比数列{an}前 n 项和 Sn＝2n－1，{an2}前 n 项和为 Tn，求 Tn的表达式．解：(1) a1＋2a22＝0，∴公比 q＝又 S4－S2＝，将 q＝－代入上式得 a1＝1，∴an＝a1qn－1＝(－) n－1 (n∈N*)(2) an≥(－) n－1≥()4n≤5∴原不等式的解为 n＝1 或 n＝3 或 n＝5．例 3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数．解：设这四个数为 a－d，a，a＋d， 依题意有： 解得： 或 ∴ 这四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1．变式训练 3.设是等差数列的前项和，，则等于（ ）A. 15 B. 16 C. 17 D. 18答案： D。解析：由得，再由。例 4. 已知函数 f(x)＝(x－1)2，数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列{bn}是公比为 q 的等比数列(q≠1)，若 a1＝f(d－1)...
