2012-2013学年高中数学 1.3.3等比数列的前n项和1学案 北师大版必修5

第 3 课时 等比数列的前 n 项和知能目标解读1.掌握等比数列的前 n 项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前 n 项和.2.掌握等比数列前 n 项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前 n 项的问题.在应用时，特别要注意 q=1 和 q≠1 这两种情况.3.能够利用等比数列的前 n 项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前 n 项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前 n 项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前 n 项和公式（1）设等比数列{an}，其首项为 a1，公比为 q，则其前 n 项和公式为 na1 (q=1)Sn= . (q≠1)也就是说，公比为 q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在 q=1 处.因此，使用等比数列的前 n 项和公式，必须要弄清公比 q 是可能等于 1 还是不等于1，如果 q 可能等于 1，则需分 q=1 和 q≠1 进行讨论.（2）等比数列{an}中，当已知 a1,q(q≠1)，n 时，用公式 Sn=，当已知 a1,q(q≠1)，an时，用公式 Sn=.2.等比数列前 n 项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知：==…==q.当 q≠1 时，=q,即=q.故 Sn==.当 q=1 时，Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当 q≠1 时，Sn==.用心 爱心 专心1当 q=1 时，Sn=na1.(3)利用关系式 Sn-Sn-1=an(n≥2) 当 n≥2 时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1∴Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当 q≠1 时，有 Sn=,当 q=1 时，Sn=na1.注意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及 an与 Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{an·bn}的前 n 项和.3.等比数列前 n 项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比 q 是否为 1 是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分 q=1 和 q≠1 的讨论.4.等比数列前 n 项和公式与函数的关系(1)当公比 q≠1 时，令 A=，则等比数列的前 n 项和公式可写成 Sn...