2012届高中数学 4.1.2定积分概念形成的源头素材 北师大版选修2-2

定积分概念形成的源头魏晋南北朝时期的数学家刘徽提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。其方法是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆台体而无所失矣。”也就是说：刘徽用圆内接正多边形去逐步逼近圆。如图，设圆面积为 S，半径为 r，圆内接正 n 边形边长为 nl ，周长为nL ，面积为nS 。将边数加倍后，得到圆内接正 2n 边形，其边长、周长、面积分别记为nl2 、nL2 、nS2 ，则 22222222121nnnlrrlCDACADl， rLCDABnSnn21212， )(222nnnnSSSSS。 当 n 无限增大时，nS2 便趋于圆的面积，祖冲之按刘徽割圆术从正六边形连续算到正24576 边形时，得到圆周率 π 的上下限：3.1415926<π<3.1415927。这是当时世界在这一领域的最高水平。刘徽割圆的逼近思想是以后极限思想的萌芽，为定积分概念的形成积累了素材。1