2013 年高中数学 1.5 3 定积分教案 新人教 A 版选修 2-2定积分是积分学中的 另一个重要概念．我们先从几何学与力学问题出发引进定积分的概念，然后讨论它的性质和计算方法，最后介绍定积分在几何、物理、经济方面的一些应用．§7.1 定积分的概念教学目的与要求1.深刻理解定积分的概念；2.熟练掌握定积分的性质。 教学重点与难点定积分的定义与引入背景 一、定积分的实际背景1、曲边梯形的面积设是区间上的非负连续函数，由直线，，及曲线所围成的图形（如下左图），称为曲边梯形，曲线称为曲边．现在求其面积．由于曲边梯形的高在区间上是变动的，无法直接用已有的梯形面积公式去计算．但曲边梯形的高在区间上是连续变化的，当区间很小时，高的变化也很小，近似不变．因此，如果把区间分成许多小区间，在每个小区间上用某一点处的高度近似代替该区间上的小曲边梯形的变高．那么，每个小曲边梯形就可近似看成这样得到的小矩形，从而所有小矩形面积之和就可作为曲边梯形面积的近似值．如果将区间无限细分下去．即让每个小区间的长度都趋于零，这时所有小矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积．其具体做法如下： （1）首先在区间内插入个分点 把区间分成 个小区间 ，各小区间的长度依次记为1 ．过各个分点作垂直于 轴的直线，将整个曲边梯形分成 个小曲边梯形（如上右图），小曲边梯形的面积记为 ．（2）在每个小区间上任意取一点，作以为高，底边为的小矩形，其面积为，它可作为同底的小曲边梯形的近似值，即 ．把 个小矩形的面积加起来，就得到整个曲边梯形面积的近似值：．（3） 记，则当时，每个小区间的长度也趋于零．此时和式的极限便是所求曲边梯形面积的精确值，即．二、定积分的概念我们看到，虽然曲边梯形面积和变速直线运动路程的实际意义不同，但解决问题的方法却完全相同．概括起来就是：分割、近似、求和、取极限．抛开它们各自所代表的实际意义，抓住共同本质与特点加以概括，就可得到下述定积分的定义．定义 设函数在区间上有界，在上插入若干个分点，将区间分成 个小区间，各 小 区 间 的 长 度 依 次 记 为， 在 每 个 小 区 间 上 任 取 一 点2，作乘积的和式．记，如果不论对区间怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和式总趋于确定的值 ，则称在上可积，称此极限值 为函数在上的定积分，记作，即．其中叫做被积函数，叫做被积表达式， 叫做积分变量， 叫...
