2013届高中数学竞赛教案讲义（5）数列

第五章 数列一、基础知识定义 1 数列，按顺序给出的一列数，例如 1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,…，an或 a1, a2, a3,…，an…。其中 a1叫做数列的首项，an是关于 n 的具体表达式，称为数列的通项。定理 1 若 Sn表示{an}的前 n 项和，则 S1=a1, 当 n>1 时，an=Sn-Sn-1.定义 2 等差数列，如果对任意的正整数 n，都有 an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列，即 2b=a+c，则称 b 为 a 和 c 的等差中项，若公差为 d, 则a=b-d, c=b+d.定理 2 等差数列的性质：1）通项公式 an=a1+(n-1)d；2）前 n 项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中 n, m 为正整数；4）若 n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数 p, q，恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若 A，B 至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.定义 3 等比数列，若对任意的正整数 n，都有，则{an}称为等比数列，q 叫做公比。定理 3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前 n 项和 Sn，当 q 1 时，Sn=；当 q=1 时 ，Sn=na1；3）如果 a, b, c 成等比数列，即 b2=ac(b 0)，则 b 叫做 a, c 的等比中项；4）若m+n=p+q，则 aman=apaq。定义 4 极限，给定数列{an}和实数 A，若对任意的 >0，存在 M，对任意的 n>M(n∈N),都有|an-A|< ，则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限，记作定义 5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前 n 项和 Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。定理 3 第一数学归纳法：给定命题 p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当 p(n)时 n=k 成立时能推出p(n)对 n=k+1 成立，则由（1），（2）可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0成立。1竞赛常用定理定理 4 第二数学归纳法：给定命题 p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当 p(n)对一切 n≤k 的自然数n 都成立时（k≥n0）可推出 p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0成立。定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为α,β:(1)若 α β，则 xn=c1an-1+c2βn-1，其中 c1, c2由初始条件 x1, x2的值确定；(2)若 α=β，则 xn=(c1n+c2) αn-1，其中 c1, c2的值由...