2013届高中数学竞赛教案讲义（7）解三角形

第七章 解三角形一、基础知识在本章中约定用 A，B，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，为半周长。1．正弦定理：=2R（R 为△ABC 外接圆半径）。推论 1：△ABC 的面积为 S△ABC=推论 2：在△ABC 中，有 bcosC+ccosB=a.推论 3：在△ABC 中，A+B= ，解 a 满足，则 a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论 1，由正弦函数定义，BC 边上的高为 bsinC，所以 S△ABC=；再证推论 2，因为 B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即 sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a；再证推论 3，由正弦定理，所以，即 sinasin( -A)=sin( -a)sinA，等价于[cos( -A+a)-cos( -A-a)]= [cos( -a+A)-cos( -a-A)] ， 等 价 于 cos( -A+a)=cos( -a+A)，因为 0< -A+a， -a+A<. 所以只有 -A+a= -a+A，所以 a=A，得证。2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。（1）斯特瓦特定理：在 △ABC 中，D 是 BC 边上任意一点， BD=p，DC=q，则 AD2= （1）【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos ①同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos， ②因为ADB+ADC=，所以 cosADB+cosADC=0，所以 q×①+p×② 得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即 AD2=注：在（1）式中，若 p=q，则为中线长公式（ 2 ） 海 伦 公 式 ： 因 为b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).1这里所以 S△ABC=二、方法与例题1．面积法。例 1 （ 共 线 关 系 的 张 角 公 式 ） 如 图 所 示 ， 从 O 点 发 出 的 三 条 射 线 满 足，另外 OP，OQ，OR 的长分别为 u, w, v，这里 α，β，α+β∈(0, )，则 P，Q，R 的共线的充要条件是2．正弦定理的应用。例 2 △ABC 内有一点 P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。例 3 △ABC 的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线 GF 与 DE 交于 P，求证：PA BC。3．一个常用的代换：在△ABC 中，记点 A，B，C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.例 4 在△ABC 中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.4．三角换元。例 5 设 a, b, c∈R+，且 abc+a+c=b，试求的最大值。2例 6 在△ABC 中，若 a+b+c=1，求证:...