第十三章 排列组合与概率一、基础知识1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1种不同的方法,在第 2 类办法中有 m2种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn种不同的方法,那么完成这件事一共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法2 乘法原理:做一件事,完成它需要分 n 个步骤,第 1 步有 m1种不同的方法,第 2 步有 m2种不同的方法,……,第 n 步有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法。3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列,从 n 个不同元素中取出 m 个(m≤n)元素的所有排列个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用表示,=n(n-1)…(n-m+1)=,其中 m,n∈N,m≤n,注:一般地=1,0!=1,=n!。4.N 个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合,即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集合的一个子集。从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的组合数,用表示:6.组合数的基本性质:(1);(2);(3);(4);(5);(6)。17.定理 1:不定方程 x1+x2+…+xn=r 的正整数解的个数为。[证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A,不定方程 x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为 B,A 的每个装法对应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不同,因此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,…,xn),将 xi作为第 i 个盒子中球的个数,i=1,2,…,n,便得到 A 的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将 r 个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个,将球分 n 份,共有种。故定理得证。推论 1 不定方程 x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数为推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可重组合其组合数为8.二项式定理:若 n∈N+,则(a+b)n=.其中第 r+1 项 Tr+1=叫二项式系数。9.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率总是接近于某个常数,在...