第十四章 极限与导数一、基础知识1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数 ε，总存在正数 m，当 n>m 且 n∈N 时，恒有|un-A|<ε 成立（A 为常数），则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A 表示 x 大于 x0且趋向于 x0时 f(x)极限为 A，称右极限。类似地表示 x 小于 x0且趋向于 x0时 f(x)的左极限。2 极限的四则运算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)•g(x)]=ab, 3.连续：如果函数 f(x)在 x=x0处有定义，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，则称 f(x)在x=x0处连续。4．最大值最小值定理：如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。5．导数：若函数 f(x)在 x0 附近有定义，当自变量 x 在 x0处取得一个增量 Δx 时（Δx 充分小），因变量 y 也随之取得增量 Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在，则称 f(x)在 x0处可导，此极限值称为 f(x)在点 x0 处的导数（或变化率），记作(x0)或或，即。由定义知 f(x)在点 x0连续是 f(x)在 x0可导的必要条件。若 f(x)在区间 I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点 x0处导数(x0)等于曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。6．几个常用函数的导数：（1）=0（c 为常数）；（2）（a 为任意常数）；（3）(4);(5);(6); （ 7 ）；（8）7．导数的运算法则：若 u(x),v(x)在 x 处可导，且 u(x)≠0,则（1）；（2）；（3）（c为 常 数 ） ； （4 ）； （5 ）。8．复合函数求导法：设函数 y=f(u),u= (x)，已知 (x)在 x 处可导，f(u)在对应的点 u(u=(x))处可导，则复合函数 y=f[ (x)]在点 x 处可导，且（f[ (x)]=.9.导数与函数的性质：（1）若 f(x)在区间 I 上可导，则 f(x)在 I 上连续；（2）若对一切1x∈(a,b)有，则 f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切 x∈(a,b)有，则 f(x)在(a,b)单调递减。10．极值的必要条件：若函数 f(x)在 x0处可导，且在 x0处取得极值，则11.极值的第一充分条件：设 f(x)在 x0 处连续，在 x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时，当 x∈(x0,x0+δ)时，则 f(x)在 x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时，当 x∈(x0,x0+δ)时，则 f(x)在 x0处取得极大值。12．极值的第二充分条件：设 f(x)在 x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在 x=x...
