第十七章 整数问题一、常用定义定理1．整除：设 a,b∈Z,a≠0，如果存在 q∈Z 使得 b=aq，那么称 b 可被 a 整除，记作 a|b，且称 b 是 a的倍数,a 是 b 的约数。b 不能被 a 整除，记作 a b.2 带余数除法：设 a,b 是两个给定的整数，a≠0，那么，一定存在唯一一对整数 q 与 r，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当 r=0 时 a|b。 3．辗转相除法：设 u0,u1 是给定的两个整数，u1≠0，u1 u0,由 2 可得下面 k+1 个等式：u0=q0u1+u2,01 且 n 为整数，则，其中 pj(j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。6．同余：设 m≠0,若 m|(a-b)，即 a-b=km，则称 a 与 b 模同 m 同余，记为 a≡b(modm)，也称 b 是 a对模 m 的剩余。7．完全剩余系：一组数 y1,y2,…,ys满足：对任意整数 a 有且仅有一个 yj是 a 对模 m 的剩余，即a≡yj(modm)，则 y1,y2,…,ys称为模 m 的完全剩余系。8．Fermat 小定理：若 p 为素数，p>a,(a,p)=1，则 ap-1≡1(modp)，且对任意整数 a,有ap≡a(modp).9．若(a,m)=1，则≡1(modm), (m)称欧拉函数。10．（欧拉函数值的计算公式）若，则 (m)=11．（孙子定理）设 m1,m2,…,mk是 k 个两两互质的正整数，则同余组：x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),…,x≡bk(modmk)有唯一解，x≡M1b1+M2b2+…+Mkbk(modM)，其中 M=m1m2mk；=，i=1,2,…,k；≡1(modmi),i=1,2,…,k.二、方法与例题1．奇偶分析法。例 1 有 n 个整数，它们的和为 0，乘积为 n，（n>1），求证：4|n。2．不等分析法。例 2 试求所有的正整数 n，使方程 x3+y3+z3=nx2y2z2有正整数解。13．无穷递降法。例 3 确定并证明方程 a2+b2+c2=a2b2的所有整数解。4．特殊模法。例 4 证明：存在无穷多个正整数，它们不能表示成少于 10 个奇数的平方和。5．最小数原理。例 5 证明：方程 x4+y4=z2没有正整数解。6．整除的应用。例 6 求出所有的有序正整数数对(m,n)，使得是整数。7．进位制的作用例 7 能否选择 1983 个不同的正整数都不大于 105，且其中没有 3 个正整数是等差数列中的连续项？证明你的...
