学案 72 矩阵与变换(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量导学目标： 1.理解逆矩阵的意义，理解二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并会求逆矩阵.2.理解二阶矩阵特征与特征向量的意义，会求特征值及特征向量．自主梳理1．矩阵的逆矩阵(1)一般地，设 ρ 是一个线性变换，如果存在线性变换 σ，使得 σρ＝ρσ＝I，则称变换 ρ 可逆．并且称 σ 是 ρ 的逆变换．(2)设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵 B，使得 BA＝AB＝E，则称矩阵A________，或称矩阵 A 是____________，并且称 B 是 A 的__________．(3)(性质 1)设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是________．A 的逆矩阵记为________．(4)(性质 2)设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB 也可逆，且(AB) － 1＝__________.(5)已知 A，B，C 为二阶矩阵，且 AB＝AC，若矩阵 A____________，则 B＝C.(6)对于二阶可逆矩阵 A＝(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为 A－1＝.2．二阶行列式与方程组的解对于关于 x，y 的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个________(或多项式)，记为 det(A)＝＝ad－bc.若将方程组中行列式记为 D，记为 Dx，记为 Dy，则当 D≠0 时，方程组的解为3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 Aα＝λα，那么 λ 称为 A 的一个________，α 称为 A 的一个属于特征值 λ 的一个__________．(2)特征多项式设 λ 是 二 阶 矩 阵 A ＝ 的 一 个 特 征 值 ， 它 的 一 个 特 征 向 量 为 α ＝ ， 则 A ＝________________，即也即(*)定 义 ： 设 A ＝ 是 一 个 二 阶 矩 阵 ， λ∈R ， 我 们 把 行 列 式 f(λ) ＝ ＝__________________________称为 A 的特征多项式．(3)矩阵的特征值与特征向量的求法如果 λ 是二阶矩阵 A 的特征值，则 λ 一定是二阶矩阵 A 的特征多项式的一个根，即f(λ)＝0，此时，将 λ 代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解，于是非零向量即为 A 的属于 λ 的一个______________．自我检测1．矩阵的逆矩阵是________．2．点 P(2,3)经矩阵 A＝对应的变换作用下得到点 P′，点 P′再经过矩阵 A－1对应的变换作用下得到点 P″，则点 P″的坐标是________．3．矩阵的特征值是________...
