2.3 空间向量运算的坐标表示学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式；2. 会用这些公式解决有关问题.学习过程 一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习 1：设在平面直角坐标系中，A (1,3) ，B ( 1,2)，则线段︱AB︱＝ .复习 2：已知3,2,5 ,1,5, 1ab ，求：(1)a＋B. (2)3a－b； (3)6A. ； (4)a·b.二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1. 向量的模：设 a＝123(,,)a a a，则｜a｜＝ 2. 两个向量的夹角公式：设 a＝123(,,)a a a，b＝123( ,,)b b b，由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ，由此可以得出：cos＜a,b＞＝ 试试：① 当 cos＜a、b＞＝1 时，a 与 b 所成角是 ；② 当 cos＜a、b＞＝－1 时，a 与 b 所成角是 ；③ 当 cos＜a、b＞＝0 时，a 与 b 所成角是 ，即 a 与 b 的位置关系是 ，用符合表示为 .反思：设 a＝123(,,)a a a，b＝123( ,,)b b b，则(1) a//B. a 与 b 所成角是 a 与 b 的坐标关系为 ；(2) a⊥b a 与 b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z，222(,,)B xyz，则线段 AB 的长度为：222211212()()()ABxxyyzz. 典型例题例 1. 如图,在正方体1111ABCDA B C D中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．1变式：如上图,在正方体1111ABCDA B C D中，1111113A BB ED F，求1BE 与1DF 所成角的余弦值． 例 2. 如图，正方体1111ABCDA B C D中，点 E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EFDA. 变式：如图，正方体1111ABCDA B C D中，点 M 是 AB 的中点，求1DB 与 CM所成角的余弦值. 小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算. 动手试试练 1. 已知 A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：(1)线段 AB 的中点坐标和长度；(2)到 A、B 两点距离相等的点( , , )P x y z 的坐标 x、y、z 满足的条件．练 2. 如图，正方体的棱长为 2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的...
