空间几何体的表面积与体积(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()A.8+2B.11+2C.14+2D.15【解析】选B.由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2×(1+2)×1×+2×2+1×2+1×2+×2=11+2.2.(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.+πB.+πC.+2πD.+2π【解析】选A.由三视图可知,该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体.由图中数据可知,三棱锥的体积为V1=××1×2×1=,半个圆柱的体积为V2=×π×12×2=π,所以几何体的体积为+π.3.(2016·郑州模拟)已知体积为的正三棱柱(底面是正三角形且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示,则此三棱柱的高为()A.B.C.1D.【解析】选C.由三视图可知正三棱柱的底面边长为2,设正三棱柱的高为h,正三棱柱的体积为×2×·h=,解得h=1.4.(2016·邯郸模拟)某几何体的三视图如图所示,若其正视图为等腰梯形,侧视图为正三角形,则该几何体的表面积为()A.2+2B.6C.4+2D.8【解析】选B.根据几何体的三视图,知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥,如图所示:底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,EF平行底面,且EF=1.过点E作EM⊥AB,垂足为M,则AM=,所以EM=1,DE=AE==.所以S梯形ABFE=×(1+2)×1==S梯形CDEF,S△ADE=S△BCF=×1×=×1×1=,S矩形ABCD=2×1=2;所以该几何体表面积S表面积=2+2×+2×=6.【加固训练】已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的正三角形,若这个空间几何体存在唯一的一个内切球(与该几何体各个面都相切),则这个几何体的表面积是()A.18B.36C.45D.54【解析】选D.由三视图知,几何体为正三棱柱.因为俯视图是边长为6的正三角形,所以几何体的内切球的半径R=6××=,所以三棱柱的侧棱长为2.所以几何体的表面积S=2××6×6×+3×6×2=54.5.(2016·浏阳模拟)一几何体的三视图如图所示,若正视图和侧视图都是等腰直角三角形,直角边长为1,则该几何体外接球的表面积为()A.4πB.3πC.2πD.π【解析】选B.由三视图知几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱垂直于底面,高等于1,其底面是边长为1的正方形,所以四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球,所以外接球的直径为,所以外接球的表面积为S=4π=3π.【加固训练】三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,又SA=AB=BC=1,则球O的表面积为()A.πB.πC.3πD.12π【解析】选C.依题意,球O的直径为SC,且SC=,又AB⊥BC,所以AC2=AB2+BC2,故SC==,即球O的半径为,所以球O的表面积为S=4π×=3π.6.(2016·泉州模拟)一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题干图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为2的正方形,故其底面积为4××1×1=2,由三视图知其中一条侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形.由于此侧棱长为,对角线长为2,故棱锥的高为=3,所以此棱锥的体积为×2×3=2.【加固训练】(2016·开封模拟)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3【解析】选B.由三视图可知该几何体是由一个长、宽、高分别为6,3,6的长方体在一顶角上去掉一个侧棱长分别为4,3,4的三棱锥的多面体,所以其体积为V=6×3×6-××4×3×4=100(cm3).7.(2016·成都模拟)某几何体正视图与侧视图相同,其正视图与俯视图如图所示,且图中的四边形都是边长为2的正方形,正视图中两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是()A.B.6C.4D.【解析】选A.由三视图知,该几何体是一个棱长为2的正方体,挖去一个以该正方体的中心为顶点,以该正方体的上底面为底面的四棱锥后得到的几何体,所以该几何体的体积V=23-×22×1=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2016·石家庄模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.【解析】由三视图可知,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体,如图所示.长方体的长、宽、高分别为4,3,1,表面积为4×3×2+3×1×2+4×1×2=38,圆柱的底面圆直径为2,母线长为1,侧面积为2π×1×1=2π,圆柱的两个底面面积和为2×π×12=2π.故该几何体的表面积...
