等比数列及其前 n 项和 [知识能否忆起]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒G 2 ＝ ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1q n － 1 .(2)前 n 项和公式：Sn＝3．等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝a.特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)在公比为 q 的等比数列{an}中，数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为 q k ；数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时 q≠－1)；an＝amqn－m.[小题能否全取]1．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则 a2·a6等于( )A．4 B．8C．16 D．32解析：选 C a2·a6＝a＝16.2．已知等比数列{an}的前三项依次为 a－1，a＋1，a＋4，则 an＝( )A．4·n B．4·nC．4·n－1 D．4·n－1解析：选 C (a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，a1＝4，q＝，故 an＝4·n－1.3．已知等比数列{an}满足 a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则 a7＝( )A．64 B．81C．128 D．243解析：选 A q＝＝2，故 a1＋a1q＝3⇒a1＝1，a7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若 a1＝，a4＝4，则公比 q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.解析：a4＝a1q3，得 4＝q3，解得 q＝2，a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1－.答案：2 2n－1－5．(2012·新课标全国卷)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＋3S2＝0，则公比 q＝________.解析： S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，∴a1(4＋4q＋q2)＝0. a1≠0，∴q＝－2.答案：－21.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比 q 也是非零常数．(2)由 an＋1＝qan，q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0.2．等比数列的前 n 项和 Sn(1)等比数列的前 n 项和 Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止因忽略 q＝1 这一特殊情形导致解题失误...
