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【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第64讲 极限和导数教案

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极限和导数相关知识1.导数的有关概念。(1)定义:函数 y=f(x)的导数 f/(x),就是当时,函数的增量与自变量的增量的比的极限,即。(2)实际背景:瞬时速度,加速度,角速度,电流等。(3)几何意义:函数 y=f(x)在点 x0处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率。2. 求导的方法:(1)常用的导数公式:C/=0(C 为常数);(xm)/=mxm-1(m∈Q);(sinx)/=cosx;(cosx)/= -sinx ;(ex)/=ex;(ax)/=axlna;.(2)两个函数的四则运算的导数:(3)复合函数的导数:3.导数的运用:(1)判断函数的单调性。当函数 y=f(x)在某个区域内可导时,如果 f/(x)>0,则 f(x)为增函数;如果 f/(x)<0,则f(x)为减函数。(2)极大值和极小值。用心 爱心 专心1设函数 f(x)在点 x0附近有定义,如果对 x0附近所有的点,都有 f(x)f(x0)),我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值)。(3)函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。A 类例题 例 1 求函数的导数 (2)解 y=μ3,μ=ax-bsin2ωx,μ=av-byv=x,y=sinγ γ=ωxy′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av-by)′=3μ2(av′-by′)=3μ2(av′-by′γ′)=3(ax-bsin2ωx)2(a-bωsin2ωx)(3)解法一 设 y=f(μ),μ=,v=x2+1,则y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v-·2x=f′()··2x=解法二 y′=[f()]′=f′()·()′=f′()·(x2+1)·(x2+1)′=f′()·(x2+1) ·2x=f′()用心 爱心 专心2说明 本题 3 个小题分别涉及了导数的四则运算法则,复合函数求导的方法,以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型 解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征,挖掘量的隐含条件,将问题转化为基本函数的导数 本题难点在求导过程中符号判断不清,复合函数的结构分解为基本函数出差错 例 2.观察,,,是否可判断,可导的奇函数的导函数是偶函数,可导的偶函数的导函数是奇函数。解:若为偶函数 令 ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证:∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数例 3 已知曲线 C y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线 l 的方程及切点坐标 解 由 l 过原点,知 k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线 C 上,y0=x03-3x02+2x0,∴=x02-3x0+2y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2又 k=,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+22x02-3x0=0,∴x0=0 或 x0=由 x≠0,知 x0=∴y0=()3-3()2+2·=-∴k==-∴l 方程 y=-...

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