【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第64讲 极限和导数教案

极限和导数相关知识1.导数的有关概念。(1)定义：函数 y=f(x)的导数 f/(x)，就是当时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，即。(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。(3)几何意义：函数 y=f(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率。2． 求导的方法：(1)常用的导数公式：C/=0（C 为常数）；(xm)/=mxm-1(m∈Q);(sinx)/=cosx;(cosx)/= -sinx ;(ex)/=ex;(ax)/=axlna;.(2)两个函数的四则运算的导数：(3)复合函数的导数：3.导数的运用：(1)判断函数的单调性。当函数 y=f(x)在某个区域内可导时，如果 f/(x)>0，则 f(x)为增函数；如果 f/(x)<0，则f(x)为减函数。(2)极大值和极小值。用心 爱心 专心1设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近所有的点，都有 f(x)f(x0)）,我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值（或极小值）。(3)函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。A 类例题 例 1 求函数的导数 (2)解 y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－byv=x,y=sinγ γ=ωxy′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′=3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′)=3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)(3)解法一 设 y=f(μ),μ=,v=x2+1,则y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v－·2x=f′()··2x=解法二 y′=［f()］′=f′()·()′=f′()·(x2+1)·(x2+1)′=f′()·(x2+1) ·2x=f′()用心 爱心 专心2说明 本题 3 个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型 解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数 本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错 例 2．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若为偶函数 令 ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证：∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数例 3 已知曲线 C y=x3－3x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线 l 的方程及切点坐标 解 由 l 过原点，知 k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线 C 上，y0=x03－3x02+2x0,∴=x02－3x0+2y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又 k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+22x02－3x0=0,∴x0=0 或 x0=由 x≠0,知 x0=∴y0=()3－3()2+2·=－∴k==－∴l 方程 y=－...