大学数学-2024天津市高等数学竞赛真题答案经管类

2024 年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 (经管类)一. 填空题（本题 15 分，每小题 3 分）:1.设是连续函数, 且, 则 2.设 , 若 则 3. 4.设是连续函数, 且其中由 x 轴、y 轴以及直线围成, 则 5. 二. 选择题（本题 15 分，每小题 3 分）:1.设 则在处(A), (B) , (C) , (D) 不可导. 答: (A)2.设函数具有二阶导数, 且满足方程已知则(A) 在 的某个邻域中单调增加, (B) 在 的某个邻域中单调增少, (C) 在处取得微小值, (D) 在处取得极大值. 答: ( C)3. 图中曲线段的方程为, 函数在区间上有连续的导数, 则积分 表示 (A) 直角三角形 AOB 的面积, (B) 直角三角形 AOC 的面积, (C) 曲边三角形 AOB 的面积, (D) 曲边三角形 AOC 的面积. 答: (D)4.设在区间上的函数且 令 则 (A) (B) (C) (D) 答: (C )5.设函数连续, 且, 则取值为 (A) (B) (C) (D) 答: (B) 三. (7 分) 设函数在点处可微, 求极限 解 由导数的定义和复合函数的求导法则 四.(7 分) 设函数在上二阶可导，且，记，求的导数，并讨论在处的连续性.解 由已知的极限知 从而有 当 时, 从而有 因为 所以, 在处连续. 当 时, 在处, 由 有 所以, 而 故 在处连续.五.(7 分) 已知函数的导函数是三次多项式，其图像如下图所示： （Ⅰ）关于函数,填写下表:单调增区间单调减区间极大值点微小值点曲线向下凸区间曲线向上凸区间曲线的拐点（Ⅱ）若还知道的极大值为 6，点在曲线上，试求出的表达式. 解（Ⅰ）单调增区间（-2,0）,单调减区间,(0,2)极大值点0微小值点-2, 2曲线向下凸区间曲线向上凸区间曲线的拐点 （Ⅱ）设 则由 得 故 从而 再由 得 所以 六.(7 分)设函数在上可导, 且满足 (Ⅰ) 讨论在区间的单调性和曲线的凹凸性. (Ⅱ) 求极限 解 (Ⅰ) 当时, 有 故 在区间单调增加. 从而当时, 也单调增加. 可见, 曲线在区间向下凸.(或当时, 可得 可见, 曲线在区间向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, 应用洛必达法则 七. (7 分) 设在上具有连续导数, 且 试证 证 令 则 在 连续, 且对 , 又由题设知, 当时, 令 则在上连续, 且 故有 因此 于是在上单调增加, 取, 即得 所证结论成立.八. (7 分) (Ⅰ) 设函数在区间 上连续, 为偶函数, 满足条件 (为常数). 证明: ;(Ⅱ) 设 其中为正整数, 计算定积分 .解 (Ⅰ) 对于上式右边的第一个积分...